Master en Mathématique

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Ondes progressives pour un modèle proie-prédateur avec diffusion
(University of tlemcen, 2018-07-01) Bouanani, Nadia
Les ondes progressives ont été utilisées pour modéliser la propagation des ondes de concentration chimique, la colonisation de l’espace par une population, la propagation spatiale des épidémies. L’existence de telles ondes progressives est généralement une conséquence du couplage de divers effets tels que la diffusion. [13] R.A Fisher [5] a été parmi les premiers à étudier ce phénomène en 1937, dans la même année Kolmogoroff , Petrovskii, et Piskunov ont généralisé son travail. Dans ce mémoire, on va s’intéresser aux équations de réaction-diffusion qui ont la forme suivante : ∂u ∂t = D ∂ 2u ∂x2 + f(u), avec f est une fonction de C 1 ([0, 1], R +) et u bornée. Les ondes progressives sont définies mathématiquement par une solution u(z) avec z est la variable de l’onde telle que u(x, t) = u(x − ct) = u(z), z = x − ct c > 0 représente la vitesse de l’onde. 4 Modèle de proie-prédateur La population des prédateurs se nourrit des proies. Ce qui augmente leur taux de croissance et en même temps crée une diminution du taux de la population des proies. [14]. Le modèle de Lotka-Volterra est devenu plus réaliste, en additionnant d’autres conditions qui influent sur le taux de croissance des prédateurs-proies, comme suit :    u 0 = Au − H(u, w), w 0 = −Cw + eH(u, w), (1) où u, w représentent la densité des proies et prédateurs,respectivement. H(u, w) = B uw 1 + Eu , H est la fonction réponse de type Holling II, qui a un taux d’absorption chez les prédateurs, qui diminue, car ils ont une capacité limitée à transformer les aliments. Pour plus de détails [8]. Le modèle de Lotka-Volterra avec croissance logistique des proies et la fonction réponse de type Holling II est le suivant :    u 0 = Au(1 − u k ) − B uw 1 + Eu , w 0 = −Cw + D uw 1 + Eu . (2) Ici, u et w représentent la population des proies et des prédateurs respectivement à l’instant t. Où A, B, C et D sont des constantes positives telles que : A : le taux de croissance intrinsèque de la population proie en l’absence de préda- 5 teur. B : le taux de prédation maximale du prédateur sur les proies E : la constante de saturation pour les prédateurs. D : le taux de conversion de la biomasse des proies en prédateurs. C : le taux de mortalité du prédateur en l’absence de proie. k : la capacité limite.
Solvabilité d’une classe de problèmes aux limites associés à des équations différentielles fractionnaires
(Universite of tlemcen, 2017-06-21) Leshaf, Leila
Dans ce mémoire nous avons présenté quelques résultats d’existence et de multiplicité de solutions pour des problèmes aux limites à deux points associés à des équations différentielles d’ordre fractionnaire faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien. Ces résultats ont été obtenus par l’application de la théorie de point fixe, en particulier le théorème de point fixe de Schaefer et le théorème de point fixe de Leggett Williams
Sur la représentation explicite des solutions pour les systèmes d’équations différentielles fractionnaires linéaires avec retard
(University of tlemcen, 2017-06-02) Chabane, Oussama
En utilisant la transform´ee de Laplace on donne dans ce m´emoire les solutions explicites pour certains syst`emes d’´equations diff´erentielles fractionnaires lin´eaires avec retard au sens de Caputo.
Stationarit´e Stricte des Processus Autor´egressifs G´en´eralis´es.
(University of tlemcen, 2017-07-06) Tabti, Abir
L’objectif principal de ce m´emoire est d’´etudier le probl`eme d’existante et d’unicit´e d’une solution de l’´equation stochastique Xn+1 = AnXn + Bn, n ∈ Z. (3.10) Notre travail est bas´e sur les articles suivants : BRANDT, A. The stochastic equation Yn+1 = AnYn + Bn with stationary coefficients, Adv. in Appl. Probab. Vol.18,No 1, 1986, pp. 211-220. BOUGEROL, P. and PICARD N. Strict stationarity of Generalized Auto regressive Processes. The Annals of Probability, Vol. 20, No 4, 1992, pp. 1714-1730. Dans la premi`ere partie, nous d´eveloppons les r´esultats de Brandt qui a ´etabli des conditions suffisantes pour l’existence et l’unicit´e d’une solution d’´equation (3.10) dans le cas o`u la suite des coefficients Ψ = (An, Bn) est stationnaire et ergodique. L’auteur montre aussi sous certains Conditions sur les moments, pour tout (Ψr = (A r n , Bn r )n)r qui converge faiblement `a Ψ, la suite de solutions (Xn(Ψr ))n de (3.10) associ´ee `a la suite des coefficients Ψr converge faiblement vers (Xn(Ψ))n. Dans la deuxi`eme partie, nous pr´esentons les r´esultats de Bougerol-Picard. Les auteurs Ont consid´er´e l’´equation (3.10) dans un cas vectoriel o`u les coefficients Ψ = (An, Bn) sont i.i.d.. Leur r´esultat principal est que, dans une condition d’irr´eductibilit´e, il existe une solution strictement stationnaire non anticipative si, et seulement si, l’exposant de le Lyapounov est strictement n´egatif.
Compétition dans un chemostat sur deux substrats complémentaires
(Universite of tlemcen, 2017-06-18) Moulai Khatir, Anes
Ce mémoire porte sur l’étude de la compétition dans un chemostat sur deux substrats complémentaires. Nous nous sommes intéressés à l’invali dité du principe de l’exclusion compétitive dans la nature et nous avons essayé d’expliquer le phénomène de coexistence par les multi-substrats. Une analyse d’un modèle de survie de deux types de micro-organismes en compétition sur deux substrats complémentaires est effectuée. Les ré- sultats obtenus ont déjà figuré dans les modèles de compétition de type Lotka-Volterra.
Sur la méthode de sous et sur solutions
(Universite of tlemcen, 2017-06-17) Taouli, Mouna
LíidÈe cíÈtait díexploiter certaines propriÈtÈs aÖn de trouver la solution recherchÈe , plus prÈ- cisÈment on a montrer que si on peut trouver une sous- solution u et une sur-solution u díun problËme aux limites bien particulier , et si de plus u u alors il existe une solution qui satisfait u u u Ce qui nous assure líexistence de solutions. Pour le cas non ordonnÈe cíest-‡-dire u u, il faut díautres hypoyhËses.
Probl`emes de Cauchy sur des intervalles non born´es
(University of tlemcen, 2017-07-03) Hamoun, Yasmina
La théorie des équations différentielles est un vaste domaine aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées. Celles-ci sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques comme pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste sans oublier la technique de datation par le C14 . Les équations différentielles définies sur la demi droite réelle positive modélisent beaucoup de phénomènes physique,par exemple dans l’étude du courant instable d’un gaz à travers un nuage [2, 18] la physique du plasma [3] etc . D’autre part ,les équations différentielles impulsives apparaient comme une description naturelle de nombreux phénomènes d’évolution dans le monde réel. La majorité des processus dans les sciences appliquées sont représentés par des équations différentielles. Cependant, la situation est différente dans certains phénomènes physiques subisant des change ments brusques au cours de leur évolution comme les systèmes mécaniques avec impact, les systèmes biologiques (battements du coeur, flux du sang,...) ,la dynamique des populations ,la dynamique des cellules etc. Depuis plusieurs années, plusieurs chercheurs s’intéressent à l’existence des solutions de ces équa tions . La résolution d’une équation différentielle requiert une bonne combinaison de connaissances en mathématiques telle que la continuité par rapport aux conditions initiales et aux autres paramètres du système. Dépendamment du type de solution en quête, plusieurs méthodes ont été développées comme celle de la théorie du point fixe et bien d’autres voir par exemple les références[1, 12, 16] . En général , afin d’étudier l’aspect qualitatif telle que l’oscillation des solutions ,la stabilité ou le comportement asymptotique ,nous devons établir les résultats globaux . Ceci est l’une des motivations de ce travail. Ce mémoire est consacré à quelque résultats d’existence et d’unicité des solutions pour quelques classes d’équations différentielles sur des espaces de Banach et de Fréchet .Nous nous inspirons principalement du travail[12]et pour plus de détaille voir les références [1, 4, 6, 8, 12, 26]. L’approche est basée sur la théorie du point fixe particulièrement l’alternative non linéaire de type Leray-Schauder pour les contractions sur les espaces de Banach et Fréchet .
Sur la Distribution Spectrale Limite de la Matrice de Fisher
(University of tlemcen, 2026-09-27) Belouafi, Bouchra
Ce mémoire est consacré à l'étude de la distribution spectrale limite (LSD) de la matrice de Fisher Fn = S1S−1 2 , produit d'une matrice de covariance empirique par l'inverse d'une seconde matrice de covariance empirique indépendante, en régime de grande dimension où p/n1 → y1 > 0 et p/n2 → y2 ∈ (0, 1). Dans un premier temps, nous rappelons les modèles fondamentaux de matrices aléatoires (Wigner, Wishart, covariance empirique) ainsi que les deux outils qui structurent la démarche, à savoir la méthode des moments et la transformée de Stieltjes, avant de présenter la loi du demi-cercle, la loi de Marchenko Pastur et sa version généralisée. Dans un second temps, nous démontrons le théorème de la LSD de Fisher en combinant l'identi cation combinatoire des moments limites, la fonction génératrice des moments, l'intégration de contour et le théorème des résidus, ce qui conduit à la transformée de Stieltjes puis, par la formule d'inversion, à la densité explicite de la loi limite, ainsi qu'à une masse ponctuelle en 0 lorsque y1 > 1. En n, nous établissons une formule générale d'intégrale de contour permettant de calculer toute fonctionnelle linéaire de cette loi, dont nous déduisons l'espérance et la variance spectrales, et nous retrouvons la loi de Marchenko Pastur comme cas limite lorsque y2 → 0. Des simulations numériques viennent corroborer les résultats théoriques obtenus.
Quelques problèmes non locaux avec des conditions aux limites de Neumann.
(Universite of Tlemcen, 2026-06-22) Abdelli ,Mohamed Hocine
Ce mémoire est consacré à l'étude comparative de deux approches non locales pour les problèmes aux valeurs propres et les équations elliptiques et paraboliques avec conditions de Neumann non locales, sur un domaine borné lipschitzien Ω ⊂ R n . La première approche, due à Dipierro, Ros-Oton et Valdinoci [9], utilise le laplacien fractionnaire (−∆)s (s ∈ (0, 1)), dont le noyau cn,s|x−y| −(n+2s) est singulier et à longue portée. La condition de Neumann non locale correspondante est : Nsu(x) = cn,s Z Ω u(x) − u(y) |x − y| n+2s dy, x ∈ R n \ Ω ̄, et le cadre fonctionnel adapté est l'espace de Hilbert Hs Ω,g, qui intègre un poids |g| sur l'extérieur ainsi que la semi-norme de Gagliardo. La seconde approche, développée par Rossi [16], traite un opérateur de diusion non locale à noyau régulier continu J : R n → R : LJ u(x) = Z Ω J(x − y) u(y) − u(x) dy, x ∈ Ω. Les deux approches partagent la même structure spectrale (0 = λ1 < λ2 ≤ · · ·) mais dièrent profondément
Inférence dans les modèles autorégressifs à coefficients aléatoires
(Universite of Tlemcen, 2026-07-01) Farsi ,Wissal
Ce mémoire est consacré à l’étude de la vitesse de convergence vers la loi normale d’une classe d’estimateurs pour le modèle autorégressif à coefficients aléatoires d’ordre un, noté RCA(1), défini par : Xt = (β + Bt)Xt−1 + εt , (1) où Bt est un coefficient aléatoire. Ce modèle non linéaire s’avère particulière ment pertinent pour la modélisation de séries chronologiques économiques et financières, dont les structures de dépendance sont souvent trop complexes pour être capturées par des modèles linéaires classiques. L’objectif principal de ce travail est de développer les résultats établis par Vaněček (2006) concernant la vitesse de convergence en loi de l’estima teur de Schick (estimateur des moindres carrés pondérés) vers la distribution normale. L’auteur a démontré que cette vitesse est de l’ordre de (log n) 3 √ n . La performance des estimateurs est évaluée à travers trois études de simu lation – mettant en jeu des coefficients aléatoires suivant une loi de Bernoulli généralisée (modèles à deux régimes) ainsi qu’une loi normale – et une appli cation à des données réelles, à savoir la célèbre série historique des captures de lynx de la rivière Mackenzie (1821-1934). Les résultats obtenus montrent que l’estimateur des moindres carrés pondérés (WLS) conduit à des erreurs de prévision légèrement inférieures à celles de l’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO), en particulier lorsque l’hétéroscédasticité est plus pronon cée, bien que l’amélioration observée reste modeste. Enfin, plusieurs perspectives de recherche peuvent être envisagées : l’ex tension aux modèles RCA d’ordre supérieur (RCA(p)), aux processus multi variés, ou encore l’étude de critères de sélection de modèle adaptés à ce type de processus.
The global fractionalcalderon-Zygmund regularity and applications
(Universite of Tlemcen, 2026-06-21) Madani,Limeme Ramzi
Dans ce mémoire on a le problème de poisson et par remplacer le Laplacien classique par Laplacien fractionnel et avec les conditions au bord de Dirichlet, on va essayer de trouver une solution pour ce problème utilisons la fonction de Green fractionnel associe à problème de Poisson fractionnel. On va étudier la régularité de la solution dans les espaces fonctionnels et les espaces fonctionnel fractionnel basé sur les données de notre problème, est appelé ‘’La régularité de Calderon Zygmund fractionnel ‘’, et on la utilise pour obtient l’existence de solution d’un autre problème s’appelé K.P.Z .
Analyse mathématique d’un modèle hybride de la leucémie myéloide chronique.
(University of Tlemcen, 2026-06-20) Berhoune, Amina Chahd
Dans ce travail, nous avons proposé un modèle mathématique hybride décrivant la dynamique de la leucémie myéloïde chronique, en prenant en compte la présence de cellules résistantes et les interactions complexes entre les différentes populations cellulaires. Ce modèle combine une approche structurée et des équations différentielles ordinaires, permettant de représenter de manière plus fidèle les mécanismes biologiques liés à la prolifération, à la compétition cellulaire et à l’évolution de la maladie. L’analyse mathématique développée dans ce mémoire s’est principalement concentrée sur l’étude qualitative du système, notamment à travers l’existence, l’unicité et la positivité des solutions, ainsi que l’analyse des états stationnaires et de leur stabilité locale à travers la comparaison entre le taux de reproduction net R1 des cellules souches normales et les valeurs m0 g0 et m1 g1 qui représentent respectivement le rapport entre le taux de division et le taux de mortalité des cellules souches leucémiques et celui des cellules souches leucémiques résistantes. Ces résultats ont permis de mieux comprendre le comportement asymptotique du système et d’identifier les différents régimes possibles de la maladie. L’étude des états d’équilibre a permis de mettre en évidence plusieurs comportements possibles du système, qui correspondent aux différentes évolutions de la maladie. Plus précisément : 1. Lorsque l’état trivial E0 est stable, toutes les populations cellulaires s’annulent, ce qui correspond à une situation biologiquement dégénérée. 2. Lorsque l’état non pathologique E6 existe et est stable, les cellules normales persistent tandis que les cellules leucémiques et résistantes disparaissent, 92 ce qui correspond à un état sain sans maladie. 3. Lorsque certains états chroniques E5, E4 ou E7 existent et sont stables, les cellules normales coexistent avec les cellules leucémiques, ce qui traduit une persistance de la maladie sous une forme chronique. 4. Enfin, lorsque les états blasts E1, E2, E3 sont stables, les populations pa thologiques deviennent prédominantes, ce qui correspond à une évolution vers une phase agressive ou résistante de la maladie. Les simulations numériques réalisées ont confirmé les résultats théoriques et ont permis d’illustrer l’influence des paramètres sur la dynamique des populations cellulaires. Elles mettent en évidence des comportements variés, allant vers des états d’équilibre stables ou, dans certains cas, vers des oscillations, suggérant une dynamique plus complexe du système. Ainsi, ce travail montre que la modélisation mathématique constitue un outil pertinent pour comprendre les mécanismes de progression, de persistance et de résistance dans la leucémie myéloïde chronique. L’analyse du modèle permet d’identifier les conditions sous lesquelles la maladie peut disparaître, se stabiliser ou évoluer vers des formes plus agressives.
Stabilité Globale de l’Équilibre Intérieur d’un Modèle Structuré par Âge
(Universite of Tlemcen, 2026-06-17) Benhammou ,Assia Manel
Ce mémoire de Master examine la propagation d’une maladie infectieuse sous l’ef- fet d’une vaccination imparfaite à travers deux approches mathématiques. La première partie analyse un modèle d’équations différentielles ordinaires (EDO) en fonction du temps, validant la dynamique de seuil via le taux de reproduction de base R0 et des fonctions de Lyapunov. La deuxième partie approfondit l’étude avec des équations aux dérivées partielles (EDP) structurées en âge. En utilisant des outils d’analyse fonction- nelle, nous démontrons l’existence d’un attracteur global compact et la persistance uni- forme de la maladie. Les simulations numériques confirment les résultats théoriques, montrant l’extinction de l’infection si R0 ≤ 1 et sa persistance si R0 > 1.
Sur les équations aux dérivées partielles à retard
(University of Tlemcen, 2025-06-28) Bekkar, Ismail
Dans ce travail, nous avons introduit et d´evelopp´e une m´ethode innovante, appel´ee m´ethode des contraintes fonctionnelles, dans le but de construire des solutions exactes pour des ´equations de type r´eaction-diffusion avec retard non lin´eaires prenant la forme suivante : ut = kuxx + F(u, w), o`u la fonction inconnue u = u(x, t), le terme retard´e w = u(x, t − τ ), et τ repr´esente un param`etre positif d´esignant le temps de retard. Cette m´ethode repose sur la recherche de solutions par la m´ethode de s´eparation des variables g´en´eralis´ee. Plus pr´ecis´ement, nous avons recherch´e des solutions particuli`eres de la forme : N u(x, t) = X ξn(x)ηn(t), n=1 dans laquelle les fonctions ξn(x) et ηn(t) sont d´etermin´ees `a partir de contraintes fonctionnelles suppl´ementaires, g´en´eralement sous forme d’´equations fonctionnelles ou de relations de diff´erence, en compl´ement de l’´equation aux d´eriv´ees partielles d’origine. Toutes les ´equations trait´ees dans ce travail admettent une ou deux fonctions arbitraires d’un seul argument, ce qui permet une grande souplesse dans la construction de solutions. Nous avons pu d´ecrire un grand nombre de solutions exactes, incluant `a la fois des solutions simples trouv´ees par la m´ethode de s´eparation des variables g´en´eralis´ee et des solutions plus complexes issues d’une superposition non lin´eaire de ces derni`eres. Les solutions obtenues contiennent g´en´eralement plusieurs param`etres libres, parfois en nombre infini, ce qui permet de les adapter `a divers probl`emes pratiques ou de les utiliser comme base pour des approximations analytiques et des m´ethodes num´eriques appliqu´ees `a des EDPs `a retard non lin´eaires. Les r´esultats de cette m´ethode ont ´et´e ´etendus `a plusieurs classes importantes d’´equations, notamment : (i) Les ´equations diff´erentielles partielles non lin´eaires `a retard de la forme : L[u] = M[u] + F(u, w), o`u L et M sont des op´erateurs diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants, et peuvent ˆetre de n’importe quel ordre par rapport aux variables ind´ependantes t et x. Cette classe g´en´erale inclut, en particulier, l’´equation de Klein–Gordon avec retard non lin´eaire, qui est une ´equation du type hyperbolique avec m´emoire. 57 58 CHAPITRE 3. CONCLUSION GEN´ ERALE ´ (ii) Les ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires `a retard qui d´ependent expli citement d’une seule des variables ind´ependantes, par exemple x ou t. Ce type d’´equations permet de mod´eliser des syst`emes o`u le d´elai d´epend du temps ou de la position dans l’espace. (iii) Certaines ´equations diff´erentielles fonctionnelles aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires o`u le d´elai varie dans le temps, repr´esentant des syst`emes dynamiques plus com plexes `a comportement variable. Ainsi, la m´ethode des contraintes fonctionnelles s’av`ere particuli`erement puissante et polyvalente. Elle offre un cadre analytique coh´erent pour la construction de solutions exactes dans de nombreuses configurations, permettant de mieux comprendre le compor tement de syst`emes d´ecrits par des ´equations de r´eaction-diffusion avec m´emoire ou d´elai temporel. Cette m´ethode ouvre ´egalement des perspectives d’application dans des domaines tels que la biologie math´ematique, la physique des mat´eriaux `a m´emoire, les syst`emes neuro naux, ou encore les processus chimiques `a diffusion retard´ee.
Théorie des valeurs extrêmes, estimation et applications
(University of Tlemcen, 2025-10-12) Hamisi,Abdallah Abdallah
e mémoire explique comment la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) permet d’étudier et de prévoir des événements très rares, comme des pluies exceptionnelles, des tempêtes fortes ou des crises financières. Il commence par présenter des notions simples : comment on classe des données, comment on repère les valeurs les plus grandes, et pourquoi elles sont importantes pour comprendre les risques. Le travail montre ensuite qu’en analysant les valeurs les plus extrêmes, on peut les regrouper en trois grandes familles de comportements statistiques. Cette idée permet d’utiliser un modèle appelé GEV, qui aide à estimer la probabilité d’événements très rares. Le mémoire présente aussi une autre méthode, dite POT, qui s’intéresse aux dépassements au-delà d’un certain seuil et utilise la distribution de Pareto généralisée. Une grande partie du travail porte sur la manière d’estimer correctement le niveau d’extrémité d’une distribution grâce à plusieurs techniques, dont certaines très simples et d’autres plus robustes. Enfin, grâce à des simulations informatiques, le mémoire compare ces méthodes et montre que la technique du maximum de vraisemblance donne en général les résultats les plus précis. L’ensemble du travail aide à mieux comprendre comment analyser et prédire les risques liés aux phénomènes extrêmes dans différents domaines. ABSTRACT his thesis explains how the Extreme Values Theory (EVT) allows studying and predicting very rare events, such as exceptional rainfall, severe storms, or financial crises. It begins by presenting simple concepts: how data is classified, how the largest values are identified, and why they are important for understanding risks. The work then shows that by analyzing the most extreme values, they can be grouped into three major families of statistical behavior. This idea allows the use of a model called GEV, which helps estimate the probability of very rare events. The thesis also presents another method, called POT, which focuses on exceedances beyond a certain threshold and uses the generalized Pareto distribution. A large part of the work focuses on how to correctly estimate the tail level of a distribution using several techniques, some very simple and others more robust. Finally, through computer simulations, the thesis compares these methods and shows that the maximum likelihood technique generally provides the most accurate results. The entire work helps to better understand how to analyze and predict risks related to extreme phenomena in different fields. C
Inférence statistique pour un processus de type diffusion
(University of Tlemcen, 2026-02-14) Balaska,Lamia Ep .Bendimerad
L a statistique des processus stochastiques se situe à l’interface de la théorie des probabilités et de l’inférence mathématique. Ses fondements théoriques trouvent leur origine dans la construction rigoureuse du mouvement brownien par Wiener [96], puis s’appuient sur la théorie de la mesure et la théorie des martingales établies par Doob [25]. Tous ces fondements théoriques fournissent l’infrastructure conceptuelle nécessaire à l’analyse des dépendances temporelles et à l’étude asymptotique des procédures statistiques. Cette infrastructure est ensuite consolidée par des outils analytiques cruciaux tels que les dérivées de Radon-Nikodym définies par Shepp [90] pour les mesures gaussiennes ou le calcul des intégrales stochastiques développé par McKean [76]. Hoel et al. [32] et Revuz et Yor [88] développent aussi certains concepts fondamentaux tels que les chaînes de Markov, les processus de Poisson et le mouvement brownien, synthétisant ainsi une base de la modélisation des dynamiques aléatoires. L’élaboration d’une théorie unifiée de l’inférence pour ce type de processus trouve son accomplissement dans des traités de référence, nous citons l’ouvrage de Liptser et Shiryaev [69], qui présente une synthèse rigoureuse des processus stochastiques et étudie les filtrations et les processus de Markov. L’inférence asymptotique pour les processus stochastiques est étudiée par Ibragimov et Khasminski [36] où l’outil puissant de la propriété de la normalité asymptotique locale (LAN) est introduit. Il convient également de mentionner l’apport essentiel de Hájek [30], dont les travaux ont structuré la théorie moderne de la condition LAN et de l’efficacité statistique. Pour le cas des diffusions en régime de faible bruit, plusieurs travaux de Kutoyants [44, 45], [46], [47, 50] adaptent et développent considérablement cette théorie sous des conditions de régularité appropriées. L’auteur établit la condition LAN uniforme, la consistance et les propriétés asymptotiques des estimateurs classiques : du maximum de vraisemblance et de bayes. Son ouvrage de référence (Kutoyants [49]) synthétise ces avancées en présentant une théorie complète de l’estimation paramétrique avec des résultats clés sur la consistance et l’efficacité asymptotique. L’étude approfondie de la classe des estimateurs de la distance minimale pour les processus de diffusions est développée par Kutoyants [53]. D’autre part Kutoyants, Mourid et Bosq [54] abordent le cas plus complexe d’un processus de diffusion linéaire avec retard. 2 Introduction 3 Apoyan [2] aborde l’estimation paramétrique dans un processus de diffusion non linéaire où la dérive est non différentiable par rapport au paramètre inconnu. Dans le même contexte Korso [41] étudie l’estimateur du maximum de vraisemblance pour des retards multiples dans la dérive d’un processus de type diffusion. D’autre part Mourid et Benyahia [79] traite le problème de l’estimation semi paramétrique pour la densité de probabilité des retards dans la dérive. Nous rappelons aussi les travaux sur l’estimation semi paramétrique de Iacus [33] qui aborde le problème de l’estimation de l’état d’un système dynamique perturbé à partir de l’observation de la trajectoire d’un processus de diffusion dont le coefficient de diffusion (petit) est connu alors que le coefficient de dérive est une fonction régulière inconnue. Iacus [34] propose aussi un estimateur semi paramétriques pour le coefficient de dérive dans un système dynamique non homogène. Pour les modèles où le paramétrage exact n’est pas disponible Kutoyants [52] explore l’estimation non paramétrique de la fonction de dérive, en proposant des méthodes adaptées à ces modèles flexibles. Mourid et Kutoyants [56] proposent un estimateur fonctionnel de la mesure représentant les retards dans la dérive dans un processus de type diffusion par la méthode de la distance minimale. Une étude exhaustive de ces questions est présentée dans l’ouvrage de Kutoyants [55], qui couvre aussi bien le cas régulier que les situations non régulières. L’exploitation des propriétés ergodiques a également permis d’étudier la consistance et le comportement asymptotique des estimateurs à partir d’observations stationnaires. Kutoyants en a systématisé l’étude dans [58], couvrant les cadres paramétrique et non paramétrique, avec des développements détaillés dans [52, 57] et des contributions complémentaires de Dalalyan [17, 18], Dachian [13] et Negri [82]. Parallèlement, l’inférence pour les processus fonctionnels a été initiée par Bosq, notamment à travers son traité avec Lecoutre [6], ses travaux sur les vitesses paramétriques des estimateurs non paramétriques en temps continu [7] et son ouvrage de référence sur l’estimation et la prédiction non paramétriques pour les processus stochastiques [8]. Dans ce prolongement, Mourid a étendu avec Kara-Terki [37] la théorie LAN aux processus autorégressifs hilbertiens, adaptant ainsi l’inférence asymptotique aux données fonctionnelles dépendantes. Enfin, les processus de Poisson non homogènes constituent une autre classe essentielle de modèles en temps continu, adaptés à la description de phénomènes ponctuels. Les travaux de Kutoyants [48, 51] ont largement développé la théorie de l’estimation de leur intensité, considérant à la fois les situations régulières et non régulières, ainsi que les approches paramétriques et non paramétriques, comme le présente son ouvrage récent [65]. Dans cette perspective générale, l’analyse statistique des processus stochastiques conduit naturellement à s’interroger sur la validité des modèles utilisés pour décrire les phénomènes observés. En effet, si les méthodes d’estimation per- 4 Introduction mettent de déterminer des paramètres ou des fonctions ajustés aux données, elles ne garantissent pas que la structure probabiliste choisie reflète fidèlement la dyna mique réelle du système. Ce problème mène directement à l’étude des procédures permettant de tester la compatibilité d’un modèle avec les trajectoires observées. Les tests d’ajustement constituent précisément un outil fondamental de cette dé- marche. Ils permettent d’évaluer l’adéquation entre un modèle probabiliste et les données enregistrées, en fournissant des critères objectifs pour juger la va lidité d’une hypothèse portant sur la loi gouvernant les observations. Ces tests sont aujourd’hui largement utilisés dans de nombreux domaines, l’économétrie, la biologie, les mathématiques financières et les sciences de l’ingénieur, ... Dans ce travail, nous nous focalisons sur la problématique des tests d’ajuste ment pour des processus de type diffusion évoluant en régime de faible bruit en particulier. Cette branche de l’inférence statistique a été progressivement étendue à des contextes variés, allant des cas classiques d’observations ponctuelles indé- pendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) aux structures plus complexes de l’observation de processus continus
Introduction aux équations différentielles fonctionnelles mixtes EDFM
(University of Tlemcen, 2017-05-29) Benameur, Kawther
L es équations différentielles fonctionnelles mixtes ont deux types d’arguments : argument retardé et argument avancé, qui ont un comportement différent. Comparativement à l’équation différentielle fonctionnelle à retard, l’équation diffé- rentielle fonctionnelle mixte EDFM, n’a pas fait l’objet de beaucoup de recherches mathématiques. Ces équations ont la caractéristique importante que l’histoire et le statut futur du système ont tous deux influé sur son taux de variation à l’instant présent. Ce type d’équations possède différentes applications dans différents domaines tel que la physique, la biologie, l’économie, etc... Dans ce mémoire on présente une introduction concernant les équations diffé- rentielles fonctionnelles mixtes EDFM du type suivant u 0 (t) = f(t, u(t), u(t − h), u(t + h)), t ∈ (t1, t2). Mon travail est divisé en deux chapitres. Le premier chapitre est introductif. Il porte sur des préliminaires et des rappels concernant les équations différentielles fonctionnelles à retard [6], [9]. Dans le deuxième chapitre, on va s’intéresser à l’étude de l’existence et l’unicité de solution d’une équation différentielle fonctionnelle mixte EDFM [2], l’intégration par la méthode des pas [4], [5], ainsi que l’équation caractéristique de l’EDFM.
Quelques critères d’oscillations pour les équations différentielles ordinaires de deuxième ordre
(Universite of Tlemcen, 2017-07-06) Bouchekif, Hakima
En mathematiques, une ´ equation diff ´ erentielle est une relation entre une ou plusieurs fonc- ´ tions inconnues et leurs deriv ´ ees. L’ordre d’une ´ equation diff ´ erentielle correspond au degr ´ e´ maximal de derivation auquel l’une des fonctions inconnues a ´ et´ e soumise. ´ Les equations diff ´ erentielles sont utilis ´ ees pour construire des mod ´ eles math ` ematiques de ´ phenom ´ enes physiques et biologique. ` Les equations diff ´ erentielles sont apparues historiquement tout au d ´ ebut du d ´ eveloppement de ´ l’analyse, De nombreux travaux furent consacres´ a ce sujet, diff ` erant g ´ en´ eralement par la motivation ´ de l’auteur (Mecanique, G ´ eom´ etrie, Physique, ´ · · ·). Par exemple, pour la mecanique non ´ lineaire, on consid ´ ere qu’elle fut fond ` ee´ a la fin du dix-neuvi ` eme si ` ecle par le math ` ematicien ´ franccais Henri Poincare (Sur les courbes d ´ efinies par des ´ equations diff ´ erentielles,1881-1886; ´ Les methodes nouvelles de la m ´ ecanique c ´ eleste, 1892-1899). Il y a lieu de citer aussi le ´ mathematicien russe Lyapunov, fondateur de la th ´ eorie de la stabilit ´ e (Le probl ´ eme g ` en´ eral ´ de la stabilite du mouvement, 1892). Dans les travaux techniques du vingti ´ eme si ` ecle, nous al- ` lons distinguer schematiquement trois courants : ´ 1. Entre les deux guerres mondiales, les ingenieurs se sont int ´ eress ´ es, dans plusieurs pays, au ´ probleme des oscillations. Ainsi, le chercheur russe Andronov trouva en 1929 dans les travaux ` de Poincare le fondement de sa Th ´ eorie des oscillations(1938). ´ 2. Apres la seconde guerre, plusieurs chercheurs sovi ` etiques pr ´ ecis ´ erent et appliqu ` erent les tra- ` vaux de Lyapunov sur la stabilite, notamment Lur’e, Malkin, Ajzerman; puis Wegrzyn en Po- ´ logne, reformula le probleme de la stabilit ` e´ a la lumi ` ere de l’analyse fonctionnelle. ` 3. Vers 1950, des chercheurs de tous les pays s’inspirerent des m ` ethodes d’ ´ etude et de synth ´ ese ` des systemes lin ` eaires continus (fonction de transfert, techniques graphiques utilisant la r ´ eponse ´ unitaire ou la reponse en fr ´ equences) et ´ echantillonn ´ es (transform ´ ee en z), m ´ ethodes deve- ´ nues classiques, pour elaborer des techniques applicables aux syst ´ emes non lin ` eaires. On a ´ notamment etendu ´ a ces syst ` emes la m ` ethode des r ´ eponses en fr ´ equences (Gol’dfarb, Du- ´ tilh, Kochenburger). On peut encore citer les travaux de : Coddington-Levinson (1955), Hale (1965, 1971),Rouche-Mawhin (1973), Pontriaguine (1975), Reinhart (1975), Siboney-Mardon (1988),Demailly (1991). Dans ce travail,on propose de donner quatre chapitre : Dans le premier chapitre nous allons introduire des rappels sur quelques notions fondamentales qui vont nous servir dans l’elaboration de cet m ´ emoire, Ainsi le th ´ eor ´ eme d’existence et d’uni- ` cite des solutions des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires. ´ Le deuxieme chapitre est parles sur la r ` esolution des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires par la ´ methode de Laplace et Fourier . ´ Dans le troisieme chapitre est consacr ` e´ a la r ` esolution des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires ´ par la methode des s ´ eries entiere. ´ Finalement dans le dernier chapitre, nous introduirons une etude sur les oscillations pour les ´ equations diff ´ erentielles fonctionnelle non lin ´ eaire de deuxi ´ eme ordre .
Etude d’un modèle proie-prédateur sous l’effet d’une infection parasitaire
(University of Tlemcen, 2013-06-13) Bambrik, Wafaa
Dans cet article, nous étudions un modèle éco-épidémiologique où la maladie de proie est présentée par un schéma susceptible-infectée (SI). La cinétique de l’incidence de satura tion est utilisée pour modéliser le processus de contact. Nous étudions la stabilité des états d’équilibre du modèle à partir d’un point de vue locale et la stabilité globale de l’état sans maladie. Notre objectif est l’étude du rôle d’exploitation sur l’évolution de la maladie. Une comparaison de la dynamique locale et globale en termes de paramètres importants du système est obtenue. Des simulation numériques sont réalisées pour illustrer les résultats analytiques
Le rôle des équations différentielles en dynamique de populations "systèmes proies-prédateurs"
(University of Tlemcen, 2017-06-28) Senous, Mohammed El Amine
L’objectif entrepris dans ce mémoire est l’étude des modèles mathématiques que ce soit à une seule ou deux populations (proie-prédateur). Ainsi, montrer par la même occasion le rôle des équations différentielles dans la dynamique de populations.

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