Quelques critères d’oscillations pour les équations différentielles ordinaires de deuxième ordre

Abstract

En mathematiques, une ´ equation diff ´ erentielle est une relation entre une ou plusieurs fonc- ´ tions inconnues et leurs deriv ´ ees. L’ordre d’une ´ equation diff ´ erentielle correspond au degr ´ e´ maximal de derivation auquel l’une des fonctions inconnues a ´ et´ e soumise. ´ Les equations diff ´ erentielles sont utilis ´ ees pour construire des mod ´ eles math ` ematiques de ´ phenom ´ enes physiques et biologique. ` Les equations diff ´ erentielles sont apparues historiquement tout au d ´ ebut du d ´ eveloppement de ´ l’analyse, De nombreux travaux furent consacres´ a ce sujet, diff ` erant g ´ en´ eralement par la motivation ´ de l’auteur (Mecanique, G ´ eom´ etrie, Physique, ´ · · ·). Par exemple, pour la mecanique non ´ lineaire, on consid ´ ere qu’elle fut fond ` ee´ a la fin du dix-neuvi ` eme si ` ecle par le math ` ematicien ´ franccais Henri Poincare (Sur les courbes d ´ efinies par des ´ equations diff ´ erentielles,1881-1886; ´ Les methodes nouvelles de la m ´ ecanique c ´ eleste, 1892-1899). Il y a lieu de citer aussi le ´ mathematicien russe Lyapunov, fondateur de la th ´ eorie de la stabilit ´ e (Le probl ´ eme g ` en´ eral ´ de la stabilite du mouvement, 1892). Dans les travaux techniques du vingti ´ eme si ` ecle, nous al- ` lons distinguer schematiquement trois courants : ´ 1. Entre les deux guerres mondiales, les ingenieurs se sont int ´ eress ´ es, dans plusieurs pays, au ´ probleme des oscillations. Ainsi, le chercheur russe Andronov trouva en 1929 dans les travaux ` de Poincare le fondement de sa Th ´ eorie des oscillations(1938). ´ 2. Apres la seconde guerre, plusieurs chercheurs sovi ` etiques pr ´ ecis ´ erent et appliqu ` erent les tra- ` vaux de Lyapunov sur la stabilite, notamment Lur’e, Malkin, Ajzerman; puis Wegrzyn en Po- ´ logne, reformula le probleme de la stabilit ` e´ a la lumi ` ere de l’analyse fonctionnelle. ` 3. Vers 1950, des chercheurs de tous les pays s’inspirerent des m ` ethodes d’ ´ etude et de synth ´ ese ` des systemes lin ` eaires continus (fonction de transfert, techniques graphiques utilisant la r ´ eponse ´ unitaire ou la reponse en fr ´ equences) et ´ echantillonn ´ es (transform ´ ee en z), m ´ ethodes deve- ´ nues classiques, pour elaborer des techniques applicables aux syst ´ emes non lin ` eaires. On a ´ notamment etendu ´ a ces syst ` emes la m ` ethode des r ´ eponses en fr ´ equences (Gol’dfarb, Du- ´ tilh, Kochenburger). On peut encore citer les travaux de : Coddington-Levinson (1955), Hale (1965, 1971),Rouche-Mawhin (1973), Pontriaguine (1975), Reinhart (1975), Siboney-Mardon (1988),Demailly (1991). Dans ce travail,on propose de donner quatre chapitre : Dans le premier chapitre nous allons introduire des rappels sur quelques notions fondamentales qui vont nous servir dans l’elaboration de cet m ´ emoire, Ainsi le th ´ eor ´ eme d’existence et d’uni- ` cite des solutions des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires. ´ Le deuxieme chapitre est parles sur la r ` esolution des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires par la ´ methode de Laplace et Fourier . ´ Dans le troisieme chapitre est consacr ` e´ a la r ` esolution des ´ equations diff ´ erentielles ordinaires ´ par la methode des s ´ eries entiere. ´ Finalement dans le dernier chapitre, nous introduirons une etude sur les oscillations pour les ´ equations diff ´ erentielles fonctionnelle non lin ´ eaire de deuxi ´ eme ordre .