Ondes progressives pour un modèle proie-prédateur avec diffusion

Abstract

Les ondes progressives ont été utilisées pour modéliser la propagation des ondes de concentration chimique, la colonisation de l’espace par une population, la propa￾gation spatiale des épidémies. L’existence de telles ondes progressives est généralement une conséquence du cou￾plage de divers effets tels que la diffusion. [13] R.A Fisher [5] a été parmi les premiers à étudier ce phénomène en 1937, dans la même année Kolmogoroff , Petrovskii, et Piskunov ont généralisé son travail. Dans ce mémoire, on va s’intéresser aux équations de réaction-diffusion qui ont la forme suivante : ∂u ∂t = D ∂ 2u ∂x2 + f(u), avec f est une fonction de C 1 ([0, 1], R +) et u bornée. Les ondes progressives sont définies mathématiquement par une solution u(z) avec z est la variable de l’onde telle que u(x, t) = u(x − ct) = u(z), z = x − ct c > 0 représente la vitesse de l’onde. 4 Modèle de proie-prédateur La population des prédateurs se nourrit des proies. Ce qui augmente leur taux de croissance et en même temps crée une diminution du taux de la population des proies. [14]. Le modèle de Lotka-Volterra est devenu plus réaliste, en additionnant d’autres conditions qui influent sur le taux de croissance des prédateurs-proies, comme suit :    u 0 = Au − H(u, w), w 0 = −Cw + eH(u, w), (1) où u, w représentent la densité des proies et prédateurs,respectivement. H(u, w) = B uw 1 + Eu , H est la fonction réponse de type Holling II, qui a un taux d’absorption chez les prédateurs, qui diminue, car ils ont une capacité limitée à transformer les aliments. Pour plus de détails [8]. Le modèle de Lotka-Volterra avec croissance logistique des proies et la fonction réponse de type Holling II est le suivant :    u 0 = Au(1 − u k ) − B uw 1 + Eu , w 0 = −Cw + D uw 1 + Eu . (2) Ici, u et w représentent la population des proies et des prédateurs respectivement à l’instant t. Où A, B, C et D sont des constantes positives telles que : A : le taux de croissance intrinsèque de la population proie en l’absence de préda- 5 teur. B : le taux de prédation maximale du prédateur sur les proies E : la constante de saturation pour les prédateurs. D : le taux de conversion de la biomasse des proies en prédateurs. C : le taux de mortalité du prédateur en l’absence de proie. k : la capacité limite.