Sur la Distribution Spectrale Limite de la Matrice de Fisher

Abstract

Ce mémoire est consacré à l'étude de la distribution spectrale limite (LSD) de la matrice de Fisher Fn = S1S−1 2 , produit d'une matrice de covariance empirique par l'inverse d'une seconde matrice de covariance empirique indépendante, en régime de grande dimension où p/n1 → y1 > 0 et p/n2 → y2 ∈ (0, 1). Dans un premier temps, nous rappelons les modèles fondamentaux de matrices aléatoires (Wigner, Wishart, covariance empirique) ainsi que les deux outils qui structurent la démarche, à savoir la méthode des moments et la transformée de Stieltjes, avant de présenter la loi du demi-cercle, la loi de Marchenko Pastur et sa version généralisée. Dans un second temps, nous démontrons le théorème de la LSD de Fisher en combinant l'identi cation combinatoire des moments limites, la fonction génératrice des moments, l'intégration de contour et le théorème des résidus, ce qui conduit à la transformée de Stieltjes puis, par la formule d'inversion, à la densité explicite de la loi limite, ainsi qu'à une masse ponctuelle en 0 lorsque y1 > 1. En n, nous établissons une formule générale d'intégrale de contour permettant de calculer toute fonctionnelle linéaire de cette loi, dont nous déduisons l'espérance et la variance spectrales, et nous retrouvons la loi de Marchenko Pastur comme cas limite lorsque y2 → 0. Des simulations numériques viennent corroborer les résultats théoriques obtenus.