Quelques problèmes non locaux avec des conditions aux limites de Neumann.

Abstract

Ce mémoire est consacré à l'étude comparative de deux approches non locales pour les problèmes aux valeurs propres et les équations elliptiques et paraboliques avec conditions de Neumann non locales, sur un domaine borné lipschitzien Ω ⊂ R n .

La première approche, due à Dipierro, Ros-Oton et Valdinoci [9], utilise le laplacien fractionnaire (−∆)s

(s ∈ (0, 1)), dont le noyau cn,s|x−y| −(n+2s) est singulier et à longue

portée. La condition de Neumann non locale correspondante est :

Nsu(x) = cn,s Z Ω u(x) − u(y) |x − y| n+2s dy, x ∈ R n \ Ω ̄,

et le cadre fonctionnel adapté est l'espace de Hilbert Hs

Ω,g, qui intègre un poids |g| sur

l'extérieur ainsi que la semi-norme de Gagliardo. La seconde approche, développée par Rossi [16], traite un opérateur de diusion non locale à noyau régulier continu J : R n → R :

LJ u(x) = Z Ω J(x − y) u(y) − u(x)

dy, x ∈ Ω.

Les deux approches partagent la même structure spectrale (0 = λ1 < λ2 ≤ · · ·) mais dièrent profondément