Courbes et surfaces paramétrées Avec Exercices corrigés

Abstract

Le pr´esent polycopi´e est ´ecrit `a l’intention des ´etudiants de la deuxi`eme ann´ee de la licence de math´ematiques fondamentales. Nous allons pr´esenter, dans ce cours, quelques notions de base qui concernent les courbes et les surfaces param´etr´ees. Le manuel est compos´e de deux parties: Nous ´etudions dans le premier chapitre les courbes qui sont des applications d´efinies sur un intervalle de R `a valeur dans R d (d = 2, 3). Nous donnons quelques propri´et´es fondamentales d’une courbe, puis nous d´efinirons dans la suite, les ´el´ements m´etriques d’un arc param´etr´e en l’un de ses points. Nous montrerons que les courbes sont caract´eris´ees par deux invariants riemanniens `a savoir la courbure et la torsion. Le deuxi`eme chapitre concerne l’´etude des surfaces de R 3qui sont des applications d´efinies sur un domaine connexe de R 2 `a valeurs dans R 3 . Nous expliquerons que sur chaque surface de R 3 ont d´etermine deux quantit´es qui sont localement invariantes, la premi`ere forme fondamentale (m´etrique riemannienne) et la deuxi`eme forme fondamentale qui d´etermine la g´eom´etrie de la surface par rapport `a l’espace ambiant R 3 . Pour aborder ce cours, nous supposons connues les notions de calcul diff´erentiel sur R 3 (ap plications diff´erentiables de R 2 dans R 3 , d´eriv´ees de ces applications, ...) et quelques notions d’alg`ebres lin´eaires ´el´ementaires (espaces vectoriels de dimensions finie, bases, dualit´e, matrices, ...). Chaque chapitre comporte des d´emonstrations d´etaill´ees de tous les r´esultats essentiels, et de nombreux exercices corrig´es.