Inférence statistique pour un processus de type diffusion

Abstract

L a statistique des processus stochastiques se situe à l’interface de la théorie des probabilités et de l’inférence mathématique. Ses fondements théoriques trouvent leur origine dans la construction rigoureuse du mouvement brownien par Wiener [96], puis s’appuient sur la théorie de la mesure et la théorie des martingales établies par Doob [25]. Tous ces fondements théoriques fournissent l’infrastructure conceptuelle nécessaire à l’analyse des dépendances temporelles et à l’étude asymptotique des procédures statistiques. Cette infrastructure est ensuite consolidée par des outils analytiques cruciaux tels que les dérivées de Radon-Nikodym définies par Shepp [90] pour les mesures gaussiennes ou le calcul des intégrales stochastiques développé par McKean [76]. Hoel et al. [32] et Revuz et Yor [88] développent aussi certains concepts fondamentaux tels que les chaînes de Markov, les processus de Poisson et le mouvement brownien, synthétisant ainsi une base de la modélisation des dynamiques aléatoires. L’élaboration d’une théorie unifiée de l’inférence pour ce type de processus trouve son accomplissement dans des traités de référence, nous citons l’ouvrage de Liptser et Shiryaev [69], qui présente une synthèse rigoureuse des processus stochastiques et étudie les filtrations et les processus de Markov. L’inférence asymptotique pour les processus stochastiques est étudiée par Ibra￾gimov et Khasminski [36] où l’outil puissant de la propriété de la normalité asymp￾totique locale (LAN) est introduit. Il convient également de mentionner l’apport essentiel de Hájek [30], dont les travaux ont structuré la théorie moderne de la condition LAN et de l’efficacité statistique. Pour le cas des diffusions en régime de faible bruit, plusieurs travaux de Kutoyants [44, 45], [46], [47, 50] adaptent et développent considérablement cette théorie sous des conditions de régularité appropriées. L’auteur établit la condition LAN uniforme, la consistance et les pro￾priétés asymptotiques des estimateurs classiques : du maximum de vraisemblance et de bayes. Son ouvrage de référence (Kutoyants [49]) synthétise ces avancées en présentant une théorie complète de l’estimation paramétrique avec des résul￾tats clés sur la consistance et l’efficacité asymptotique. L’étude approfondie de la classe des estimateurs de la distance minimale pour les processus de diffusions est développée par Kutoyants [53]. D’autre part Kutoyants, Mourid et Bosq [54] abordent le cas plus complexe d’un processus de diffusion linéaire avec retard. 2 Introduction 3 Apoyan [2] aborde l’estimation paramétrique dans un processus de diffusion non linéaire où la dérive est non différentiable par rapport au paramètre inconnu. Dans le même contexte Korso [41] étudie l’estimateur du maximum de vraisem￾blance pour des retards multiples dans la dérive d’un processus de type diffusion. D’autre part Mourid et Benyahia [79] traite le problème de l’estimation semi para￾métrique pour la densité de probabilité des retards dans la dérive. Nous rappelons aussi les travaux sur l’estimation semi paramétrique de Iacus [33] qui aborde le problème de l’estimation de l’état d’un système dynamique perturbé à partir de l’observation de la trajectoire d’un processus de diffusion dont le coefficient de diffusion (petit) est connu alors que le coefficient de dérive est une fonction régu￾lière inconnue. Iacus [34] propose aussi un estimateur semi paramétriques pour le coefficient de dérive dans un système dynamique non homogène. Pour les modèles où le paramétrage exact n’est pas disponible Kutoyants [52] explore l’estimation non paramétrique de la fonction de dérive, en proposant des méthodes adaptées à ces modèles flexibles. Mourid et Kutoyants [56] proposent un estimateur fonctionnel de la mesure représentant les retards dans la dérive dans un processus de type diffusion par la méthode de la distance minimale. Une étude exhaustive de ces questions est présentée dans l’ouvrage de Kutoyants [55], qui couvre aussi bien le cas régulier que les situations non régulières. L’exploi￾tation des propriétés ergodiques a également permis d’étudier la consistance et le comportement asymptotique des estimateurs à partir d’observations station￾naires. Kutoyants en a systématisé l’étude dans [58], couvrant les cadres para￾métrique et non paramétrique, avec des développements détaillés dans [52, 57] et des contributions complémentaires de Dalalyan [17, 18], Dachian [13] et Ne￾gri [82]. Parallèlement, l’inférence pour les processus fonctionnels a été initiée par Bosq, notamment à travers son traité avec Lecoutre [6], ses travaux sur les vitesses paramétriques des estimateurs non paramétriques en temps continu [7] et son ouvrage de référence sur l’estimation et la prédiction non paramétriques pour les processus stochastiques [8]. Dans ce prolongement, Mourid a étendu avec Kara-Terki [37] la théorie LAN aux processus autorégressifs hilbertiens, adaptant ainsi l’inférence asymptotique aux données fonctionnelles dépendantes. Enfin, les processus de Poisson non homogènes constituent une autre classe essentielle de modèles en temps continu, adaptés à la description de phénomènes ponctuels. Les travaux de Kutoyants [48, 51] ont largement développé la théorie de l’estimation de leur intensité, considérant à la fois les situations régulières et non régulières, ainsi que les approches paramétriques et non paramétriques, comme le présente son ouvrage récent [65]. Dans cette perspective générale, l’analyse statistique des processus stochas￾tiques conduit naturellement à s’interroger sur la validité des modèles utilisés pour décrire les phénomènes observés. En effet, si les méthodes d’estimation per- 4 Introduction mettent de déterminer des paramètres ou des fonctions ajustés aux données, elles ne garantissent pas que la structure probabiliste choisie reflète fidèlement la dyna mique réelle du système. Ce problème mène directement à l’étude des procédures permettant de tester la compatibilité d’un modèle avec les trajectoires observées. Les tests d’ajustement constituent précisément un outil fondamental de cette dé- marche. Ils permettent d’évaluer l’adéquation entre un modèle probabiliste et les données enregistrées, en fournissant des critères objectifs pour juger la va lidité d’une hypothèse portant sur la loi gouvernant les observations. Ces tests sont aujourd’hui largement utilisés dans de nombreux domaines, l’économétrie, la biologie, les mathématiques financières et les sciences de l’ingénieur, ... Dans ce travail, nous nous focalisons sur la problématique des tests d’ajuste ment pour des processus de type diffusion évoluant en régime de faible bruit en particulier. Cette branche de l’inférence statistique a été progressivement étendue à des contextes variés, allant des cas classiques d’observations ponctuelles indé- pendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) aux structures plus complexes de l’observation de processus continus