Sur les équations aux dérivées partielles à retard

Abstract

Dans ce travail, nous avons introduit et d´evelopp´e une m´ethode innovante, appel´ee m´ethode des contraintes fonctionnelles, dans le but de construire des solutions exactes pour des ´equations de type r´eaction-diffusion avec retard non lin´eaires prenant la forme suivante : ut = kuxx + F(u, w), o`u la fonction inconnue u = u(x, t), le terme retard´e w = u(x, t − τ ), et τ repr´esente un param`etre positif d´esignant le temps de retard. Cette m´ethode repose sur la recherche de solutions par la m´ethode de s´eparation des variables g´en´eralis´ee. Plus pr´ecis´ement, nous avons recherch´e des solutions particuli`eres de la forme : N u(x, t) = X ξn(x)ηn(t), n=1 dans laquelle les fonctions ξn(x) et ηn(t) sont d´etermin´ees `a partir de contraintes fonction￾nelles suppl´ementaires, g´en´eralement sous forme d’´equations fonctionnelles ou de relations de diff´erence, en compl´ement de l’´equation aux d´eriv´ees partielles d’origine. Toutes les ´equations trait´ees dans ce travail admettent une ou deux fonctions arbi￾traires d’un seul argument, ce qui permet une grande souplesse dans la construction de solutions. Nous avons pu d´ecrire un grand nombre de solutions exactes, incluant `a la fois des solutions simples trouv´ees par la m´ethode de s´eparation des variables g´en´eralis´ee et des solutions plus complexes issues d’une superposition non lin´eaire de ces derni`eres. Les solutions obtenues contiennent g´en´eralement plusieurs param`etres libres, parfois en nombre infini, ce qui permet de les adapter `a divers probl`emes pratiques ou de les utiliser comme base pour des approximations analytiques et des m´ethodes num´eriques appliqu´ees `a des EDPs `a retard non lin´eaires. Les r´esultats de cette m´ethode ont ´et´e ´etendus `a plusieurs classes importantes d’´equations, notamment : (i) Les ´equations diff´erentielles partielles non lin´eaires `a retard de la forme : L[u] = M[u] + F(u, w), o`u L et M sont des op´erateurs diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants, et peuvent ˆetre de n’importe quel ordre par rapport aux variables ind´ependantes t et x. Cette classe g´en´erale inclut, en particulier, l’´equation de Klein–Gordon avec retard non lin´eaire, qui est une ´equation du type hyperbolique avec m´emoire. 57 58 CHAPITRE 3. CONCLUSION GEN´ ERALE ´ (ii) Les ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires `a retard qui d´ependent expli citement d’une seule des variables ind´ependantes, par exemple x ou t. Ce type d’´equations permet de mod´eliser des syst`emes o`u le d´elai d´epend du temps ou de la position dans l’espace. (iii) Certaines ´equations diff´erentielles fonctionnelles aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires o`u le d´elai varie dans le temps, repr´esentant des syst`emes dynamiques plus com plexes `a comportement variable. Ainsi, la m´ethode des contraintes fonctionnelles s’av`ere particuli`erement puissante et polyvalente. Elle offre un cadre analytique coh´erent pour la construction de solutions exactes dans de nombreuses configurations, permettant de mieux comprendre le compor tement de syst`emes d´ecrits par des ´equations de r´eaction-diffusion avec m´emoire ou d´elai temporel. Cette m´ethode ouvre ´egalement des perspectives d’application dans des domaines tels que la biologie math´ematique, la physique des mat´eriaux `a m´emoire, les syst`emes neuro naux, ou encore les processus chimiques `a diffusion retard´ee.