Explosion en gradient pour la solution tr`es faible du probl`eme lin´eaire `a donn´ee L 1 .

Abstract

Les ´equations elliptiques `a donn´ee L 1 ou plus g´en´eralement des mesures jouent un rˆole crucial que ¸ca soit de point de vue th´eorique ou dans les applications. Quitte `a rappeler que le noyau de Green G(x, y) et le noyau de Poisson P(z, y) sont les solutions respectives de (x, y ∈ Ω, z ∈ ∂Ω)

−∆y G G ( ( x, x, · · ) = 0 sur ) = δx dans Ω ∂Ω , , et

−∆y P P ( ( z, z, · · ) = ) = 0 dans Ω δz sur ∂Ω , . La premi`ere difficult´e rencontr´ee avec ce type d’´equations est le sens pour lequel on cherche une solution. L’´equation peut ˆetre toujours consid´er´e au sens des distributions mais l’espace de distributions est tellement grand qu’il est pauvre de m´ethodes de r´esolutions. L’´etude de ces ´equations remontent aux fameux travaux de Stampacchia. Ensuite, plusieurs contributions majeurs ont ´et´e suivi, on peut citer Boccardo, W.Strauss, H.Brezis, P.Benilan, T.Gallouet, F.Murat, M.F.B.V´eron, L.V´eron, A.C.Ponce, J.M.Rakotoson, J.I.Diaz, J.L.Vasquez, ... Une question naturelle qui s’impose est la r´egularit´e maximale qu’on peut esp´erer