Existence de solution pour des ´equations d’´evolution semi lin´eaires soumises `a des impulsions

Abstract

La dynamique des processus d’´evolution dans le monde r´eel est souvent soumise `a des changements brusques tels que les chocs, les r´ecoltes et les catastrophes naturelles. En g´en´eral, ces perturbations de courte dur´ee par rapport `a la dur´ee du processus, ap paraissant g´en´eralement sous la forme d’impulsions. Ainsi, les ´equations diff´erentielles impulsives apparaissent comme une description naturelle des ph´enom`enes ´evolutifs phy siques qui changent brutalement d’´etats comme par exemple les syst`emes m´ecaniques avec impact, les syst`emes biologiques tels que les battements cardiaques, les flux san guins, la dynamique des populations ([7, 44]), les proc´ed´es biotechnologiques, la chimie [9], l’ing´enierie [24], la th´eorie du contrˆole [37, 32], la m´edecine [26, 16] . L’existence et l’unicit´e de solution sont les propri´et´es qualitatives fondamentales des ´equations impulsives le plus ´etudi´ees . Plusieurs travaux (voir [51, 7, 9, 5, 29, 49, 19, 20, 21, 23]) ont consid´er´e des ´equations diff´erentielles ordinaires impulsives du premier et du second ordre. La th´eorie de base sur les ´equations d’´evolution impulsives dans les espaces de Banach a ´et´e introduite par Lakshmikanthan, D. D. Bainov [39], D. D. Bainov,P.S. Simeonov [7], A.M. Samoilenko , Benchohra et al.[12] . Les ´equations d’´evolution impulsives non lin´eaires sur les espaces de Banach ont ´et´e ´etudi´ees en utilisant la th´eorie des semi-groupes dans les articles de E. Hernandez, NU. Ahmed [3] et Bainov et al. [9, 5]. Dans ce m´emoire, nous pr´esentons quelques r´esultats d’existence de solution pour des probl`emes d’´evolution soumis `a des implusions. Nous portons un int´eret sp´ecial aux impulsions non instantan´ees c’est-`a-dire que les impulsions d´emarrent brusquement et leur l’action continue sur un laps de temps. Notre ´etude est bas´ee sur les travaux de E.Hernandez et D.O’Regan [36] qui ont introduit cette nouvelle classe d’´equations diffe rentialles abstraites impulsives en consid´erant le probl`eme suivant