Une introduction au contrôle optimal pour les systèmes d’équations différentielles ordinaires avec des applications en épidémiologie et en écologie.

Abstract

Dans ce mémoire de master, nous visons à introduire la théorie du contrôle optimal appliqué aux systèmes d’équations différentielles ordinaires en mettant l’accent sur des modèles épidémiologiques et écologiques. Nous décrivons les étapes de la formulation d’un problème de contrôle optimal et en déduisant les conditions nécessaires. Plusieurs exemples simples fournissent une méthodologie détaillée pour caractériser le contrôle optimal grâce à l’utilisation du principe du maximum de Pontryagin. Nous enchaînons par le traitement de quelques systèmes d’EDOs non linéaires avec contrôle optimal. Un modèle SEIR avec un contrôle agissant comme un taux de vaccination est présenté et un problème de contrôle optimal est formulé pour inclure une contrainte isopérimétrique sur l’approvisionnement en vaccins. Un deuxième système épidimiologique du VIH avec Prep est aussi analysé. Nous avons varié l’étude dans ce mémoire à d’autres systèmes écologiques (modèle de proies et prédateurs et même super prédateurs). Après l’étude mathématique de stabilité et une étude d’instabilité de Turing pour le cas diffusif, le contrôle est appliqué indirectement sur les variables dans les systèmes traduisant des mesures de lutte biologique puisque elles sont écologiques pour les situations considérées. Pour chaque chapitre, les résultats numériques illustrent comment les contraintes altèrent le calendrier optimal et son effet sur les populations.