Introduction aux systèmes dynamiques hybrides et commutés

Abstract

En abordant le cours des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH), la première question qui vient à l’esprit c’est qu’est-ce qu’un Système Dynamique Hybride ? Le mot hybride signifie « résultat d’un mélange » ou « hétérogène de composition », mais pour les systèmes dynamiques hybrides, il n’y a pas encore une définition claire et unifiée entre les communautés des automaticiens, des informaticiens et récemment des mathématiciens pour ce type de systèmes ! D’autre part, le besoin d’une bonne connaissance et la nécessité d’une analyse rigoureuse des systèmes modélisant des phénomènes en cours, poussent les scientifiques à élaborer de nouvelles méthodes bien adaptées aux systèmes en investigation, pour éviter tout danger de manipulation pouvant avoir des conséquences désastreuses. Commençons par le commencement ; les systèmes technologiques de nos jours sont souvent composés d’éléments physiques à dynamique continue, contrôlés par des programmes informatisés implémentés qui répondent mieux à une modélisation par des systèmes à événements discrets. Quand ces deux dynamiques sont en interaction importante, le comportement du système peut être extraordinairement complexe, même pour des systèmes très simples. Ce comportement ne peut pas être analysé par des méthodes propres au mode continu, ni par celles propres au mode discret, (comme démontré dans (Engell, 2002)). En dépit du manque d’outils de simulation et d’études des SDH, les ingénieurs ont réussi à les traiter au cas par cas, par des méthodes de tâtonnement : « essai et erreurs », « séparation des éléments » ou une combinaison entre les deux, mais le prix à payer était des tests longs à ne plus en finir, des itérations fréquentes et couteuses dans le processus de design et un manque de fiabilité, une chose totalement impensable en industrie de l’automobile par exemple. Une autre difficulté spécifique à ce genre de systèmes se traduit par la non uniformité du langage que les chercheurs des différentes disciplines exercent et le besoin d’unifier la terminologie et les concepts se fait de plus en plus urgent. Revenons à la question de savoir ce qu’est un système hybride. On définit un système comme étant hybride si et seulement si on ne peut pas l’analyser, le traiter, le simuler, ni par les méthodes propres au mode continu, ni par celles propres au mode discret. Mais cela ne clarifie pas ce qu’est un hybride, d’ailleurs, la plus part des articles dans ce domaine commencent par considérer un système « hybride » et l’étudier, sans jamais dire pourquoi il a été considéré comme tel ! Cette situation est due au fait que les théories du continu et du discret on été élaborées séparément jusqu’à lors et que les hybrides prennent une place sur la frontière séparant les deux mondes…mais voilà qui est en train de changer. Le présent tapuscrit ce décompose en quatre chapitres. Le premier rassemble les notions fondamentales de la théorie des systèmes dynamiques continus et quelques rappels sur les algèbres de Lie, qui sont utiles pour la suite du document. Nous ne donnons pas de démonstration dans ce chapitre et nous ne attardons pas sur les détails, le lecteur intéressé pourra consulter des références spécialisées en la matière. 8 Le deuxième chapitre introduit les systèmes dynamiques hybrides pour que le lecteur se familiarise avec la terminologie correspondante. On y introduit plusieurs exemples et on y présente les notions de dynamique hybride et d’exécution hybride. Le troisième chapitre traite des systèmes commutés, un cas particulier des systèmes hybrides. Après les définitions nécessaires et les exemples illustratifs, on y présente les différences avec les systèmes (continus) classiques ainsi que les problèmes particuliers engendrés par les commutations. Enfin, le chapitre quatrième a pour objet l’étude de stabilité des systèmes commutés. Le tour de la question est fait en présentant des exemples et des contre exemples à chaque fois pour fixer les idées et les démonstrations des théorèmes sont données en détails dès que c’est possible. Des figures et des simulations numériques remplissent ce polycopié car, de mon point de vue, le visuel est un moyen pédagogique extrêmement efficace pour « faire apprendre une notion » ou pour « digérer une information ». Elles ont été effectuées à l’aide de Matlab, puis retouchées pour y insérer des textes explicatifs. J’espère que cette approche plaira au lecteur car elle a nécessité d’innombrables heures de travail ! Dans ce cours, j’ai essayé de présenter ce que j’ai appris de mes lectures et de mes recherches dans ce domaine, de la manière la plus simple et la plus pédagogique possible. Mon but était de créer un document qui soit lisible par une personne de formation plutôt théorique et qui voudrait s’aventurer dans la recherche sur ce thème. Le présent document rassemble donc les connaissances absolument fondamentales sur le sujet des systèmes dynamiques hybrides et commutés, en attente d’un deuxième volet qui sera consacré aux résultats avancés de la recherche dans ce domaine