Application du théorème de point fixe de Schauder a une équation d i f f é r e n t i e l l e s i n g u l i è r e .

Abstract

Une equation diff ´ erentielle est une relation entre une fonction et ses d ´ eriv ´ ees.Ils d ´ ecrivent ´ l’evolution de nombreux ph ´ enom ´ enes dans des domaines vari ` es et forme le langage dans lequel ´ les lois fondamentales des sciences physiques sont formules. ´ La science nous decrit comme un systeme physique change d’un instant ´ a l’autre. ` La theorie des ´ equations differentielles nous fournit les outiles et les thechniques pour prendre ´ cette information a court terme et obtenir le fonctionnement ` a long terme de tout l’organisme. ` L’objet de ce memoire est de donner quelques r ´ esultats concernant les ´ equations diff ´ erentielles ´ et la resolution alg ´ ebrique de ses ´ equation. ´ Dans le premier chapitre,on donne des rappelles concernant la diagonalisation,trigonalisation,l’exponentielle d’une matrice est la resolution de syst ´ eme : ` X0 = AX. Le chapitre deux est consacre´ a l’ ` etude des ´ equations diff ´ erentielles lin ´ eaires(th ´ eor ´ eme d’exis- ` tence est l’unicite,la methode de r ´ esolution). ´ Enfin, dans le troisieme chapitre on donne le th ` eor ´ eme de point fixe de Schauder aux ` equations ´ differentielle qui ont une singularit ´ e en ´ x = 0. Le premier papier qui a traite les solutions singuli ´ eres des EDO est celui de Lazer et Solimini ` [10],il a traite les singularit ´ es des ´ equations diff ´ erentielles semi-lin ´ eaires de la forme ´ x 00 (t) + a(t)x(t) = b(t) x λ + e(t). avec a, b, e ∈ C[0, 1] et λ > 0,A attire l’attention de nombreux chercheurs au cours des deux ´ dernieres d ` ecennies [2,es,7,13].Certaines conditions fortes introduites par Gordon [6] sont stan- ´ dard dans les travaux connexes [4,12,17,19],avec une forte singularite´ a proximit ` e´ x = 0. En comparaison avec le cas de singularites fortes,l’ ´ etude de l’existence de solutions p ´ eriodiques ´ sous la presence de singularit ´ es faibles est plus r ´ ecente et le nombre de r ´ ef´ erences est beaucoup ´ plus petit [5,9,14,15,16]. Certains outils classiques ont et´ e utilis ´ es dans la litt ´ erature pour ´ etudier des ´ equations singuli ´ eres ` [11,17,19],la methode de sur et sous solution[1,3] et th ´ eor ´ eme de point fixe[8,9,15]. ` Si la fonction de Green G(t, s) associee est positive,alors il est donn ´ ee en[9] que l’ ´ equation ´ prec´ edente avec ´ e(t) = 0 a au moins deux solutions periodiques positives quand ´ f(t, x) admet une singularite r ´ epulsive au voisinage de ´ x = 0 (autrement dit f(t, x) tend vers +∞ quand x tend vers zero uniform ´ ement en t). ´ 5