Controle optimal d’un mod`ele math´ematique d’´epid´emie d’h´ero¨ıne

Abstract

Dans ce travail, nous formulons un mod`ele math´ematique de l’´epid´emie d’h´ero¨ıne caract´eris´e par cinq ´equations diff´erentielles ordinaires d´ecrivant les comportements des susceptibles sans et avec ´education pr´eventive, des utilisateurs de drogues sans et sous traitement m´edical et des informations contre cette ´epid´emie. D’abord, nous ´etudions l’existence, la positivit´e et la born´etude de la solution de ce mod`ele. Ensuite, nous discutons l’existence et la stabilit´e de ces points d’´equilibres (sans et avec drogue). En outre, nous calculons le nombre de reproduction R0 et son indice de sensibilit ´e par rapport aux diff´erents param`etres. Nous remarquons que le taux de contact entre les susceptibles et les utilisateurs de drogue 1 et le taux pour lequel un utilisateur de drogue commence son traitement m´edical p sont les param`etres les plus influants sur R0. Les r´esultats th´eoriques sont valid´es par des simulations num´eriques faites dans le chapitre 2. Pour r´eduire le nombre des utilisateurs de drogue, nous mettons en place des mesures de contrˆole, ce qui fait l’objectif du chapitre 3. Les contrˆoles suppos´es sont l’intensit´e de la r´eponse aux information par les susceptibles et le traitement m´edical des consommateurs de drogue. Le coˆut `a minimiser se compose des utilisateurs de drogue sans traitement et des coˆuts de mesure en place de ses contrˆoles. Dans le chapitre 3, nous analysons la th´eorie du contrˆole optimale : nous d´emontrons l’existence d’un couple de contrˆole optimale puis nous utilisons la fonction Hamiltonienne et le principe du maximum de Pontryagin pour le caract ´eriser. Pour discuter l’efficacit´e de chacun des deux contrˆoles optimaux, nous faisons des simulations num´eriques dans trois cas diff´erents : pr´esence du premier contrˆole seulement, pr´esence du deuxi`eme contrˆole seulement et pr´esence des deux contrˆoles. Les r´esultats num´eriques montrent que les deux contrˆoles sont