Application du theoreme de point fixe de Schauder a une equation.

Abstract

Une ´equation diff´erentielle est une relation entre une fonction et ses d´eriv´ees.Ils d´ecrivent l’´evolution de nombreux ph´enom`enes dans des domaines vari´es et forme le langage dans lequel les lois fondamentales des sciences physiques sont formul´es. La science nous d´ecrit comme un systeme physique change d’un instant `a l’autre. La th´eorie des ´equations differentielles nous fournit les outiles et les thechniques pour prendre cette information `a court terme et obtenir le fonctionnement `a long terme de tout l’organisme. L’objet de ce m´emoire est de donner quelques r´esultats concernant les ´equations diff´erentielles et la r´esolution alg´ebrique de ses ´equation. Dans le premier chapitre,on donne des rappelles concernant la diagonalisation,trigonalisation,l’exponentielle d’une matrice est la r´esolution de syst`eme :X0 = AX. Le chapitre deux est consacr´e `a l’´etude des ´equations diff´erentielles lin´eaires(th´eor`eme d’existence est l’unicit´e,la methode de r´esolution). Enfin, dans le troisi`eme chapitre on donne le th´eor`eme de point fixe de Schauder aux ´equations diff´erentielle qui ont une singularit´e en x = 0. Le premier papier qui a trait´e les solutions singuli`eres des EDO est celui de Lazer et Solimini [10],il a trait´e les singularit´es des ´equations diff´erentielles semi-lin´eaires de la forme x00(t) + a(t)x(t) = b(t) x + e(t): avec a; b; e 2 C[0; 1] et > 0,A attir´e l’attention de nombreux chercheurs au cours des deux derni`eres d´ecennies [2,es,7,13].Certaines conditions fortes introduites par Gordon [6] sont standard dans les travaux connexes [4,12,17,19],avec une forte singularit´e `a proximit´e x = 0. En comparaison avec le cas de singularit´es fortes,l’´etude de l’existence de solutions p´eriodiques sous la pr´esence de singularit´es faibles est plus r´ecente et le nombre de r´ef´erences est beaucoup plus petit [5,9,14,15,16]. Certains outils classiques ont ´et´e utilis´es dans la litt´erature pour ´etudier des ´equations singuli`eres [11,17,19],la m´ethode de sur et sous solution[1,3] et th´eor`eme de point fixe[8,9,15]. Si la fonction de Green G(t; s) associ´ee est positive,alors il est donn´ee en[9] que l’´equation pr´ec´edente avec e(t) = 0 a au moins deux solutions p´eriodiques positives quand f(t; x) admet une singularit´e r´epulsive au voisinage de x = 0 (autrement dit f(t; x) tend vers +1 quand x tend vers z´ero uniform´ement en t).