Problemes de Cauchy sur des intervalles non bornes.

Abstract

La théorie des équations différentielles est un vaste domaine aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées. Celles-ci sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques comme pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste sans oublier la technique de datation par le C14 . Les équations différentielles définies sur la demi droite réelle positive modélisent beaucoup de phénomènes physique,par exemple dans l’étude du courant instable d’un gaz à travers un nuage [2, 18] la physique du plasma [3] etc . D’autre part ,les équations différentielles impulsives apparaient comme une description naturelle de nombreux phénomènes d’évolution dans le monde réel. La majorité des processus dans les sciences appliquées sont représentés par des équations différentielles. Cependant, la situation est différente dans certains phénomènes physiques subisant des changements brusques au cours de leur évolution comme les systèmes mécaniques avec impact, les systèmes biologiques (battements du coeur, flux du sang,...) ,la dynamique des populations ,la dynamique des cellules etc. Depuis plusieurs années, plusieurs chercheurs s’intéressent à l’existence des solutions de ces équations . La résolution d’une équation différentielle requiert une bonne combinaison de connaissances en mathématiques telle que la continuité par rapport aux conditions initiales et aux autres paramètres du système. Dépendamment du type de solution en quête, plusieurs méthodes ont été développées comme celle de la théorie du point fixe et bien d’autres voir par exemple les références[1, 12, 16] . En général , afin d’étudier l’aspect qualitatif telle que l’oscillation des solutions ,la stabilité ou le comportement asymptotique ,nous devons établir les résultats globaux . Ceci est l’une des motivations de ce travail. Ce mémoire est consacré à quelque résultats d’existence et d’unicité des solutions pour quelques classes d’équations différentielles sur des espaces de Banach et de Fréchet .Nous nous inspirons principalement du travail[12]et pour plus de détaille voir les références [1, 4, 6, 8, 12, 26]. L’approche est basée sur la théorie du point fixe particulièrement l’alternative non linéaire de type Leray-Schauder pour les contractions sur les espaces de Banach et Fréchet .