Les géométries de Thurston et la pseudo symétrie d’après R. Deszcz.

Abstract

Une géométrie modèle de Thurston (G, X) est une variété X connexe et simplement connexe avec un groupe de Lie G des difféomorphismes de X qui agit transitivement sur X avec stabilisateur compact tel que Gmaximal et il existe une variété Mde volume fini modelée par (G,X).Les géométries modèles de Thurston de dimension trois sont classifies par W. M. Thurston.R. O. Filipkiewicz a classifié les géométries de Thurston de dimension quatre. C. T. C. Wall a étudié les structures complexes sur les géométries de Thurston de dimension quatre. S. Maier a étudié la platitude conforme "conformal flatness" des géométries de Thurston. Une variété Riemannienne M est dite localement symétrique si son tenseur de courbure de Riemann est parallèle (∇ = 0 ). Une variété Riemannienne Mest semi-symétrique si R(X, Y).R=0. Une variété Riemannienne M, de dimension ≥ 3, est dite pseudo symétrique, au sens de Deszcz, s'il existe une fonction LR tel que R(X,Y).R=LR(X˄ Y).R. M. Belkhelfa, R. Deszcz et L. Verstraelen ont montré que chaque géométrie de Thurston de dimension trois est pseudo symétrique. On a montré que les géométries modèles de Thurston, non symétriques, ne sont pas pseudo symétriques et que la seule géométrie modèle de dimension quatre Kählérienne etnon symétrique, savoir F 4 , est holomorphiquement pseudo symétrique. Abstract : A model geometry of Thurston (G, X) is a connected and simply connected manifold X with a Lie group G acting transitively on X by compact stabilizers, such that G maximal and there exists a manifold M of finite volume modelled by (G, X). W. M. Thurston has classified the 3-dimensional Thurston geometries. R. O. Filipkiewicz has classified the 4-dimensional Thurston geometries. C. T. C. Wall has studied the complex structures on 4-dimensional Thurston geometries. S. Maier has studied the conformal flatness of Thurston geometries. A Riemannian manifold M is said to be locally symmetric if the Riemann curvature tensor is parallel (∇ = 0). A Riemannian manifold M is semi-symmetric if R(X,Y).R=0. A Riemannian manifold M, of dimension ≥ 3, is said to be pseudo symmetric, in the sense of Deszcz, if there exists a function LR such that R(X,Y).R=LR (X˄Y).R. M. Belkhelfa, R. Deszcz et L. Verstraelen have proved that every 3-dimensional Thurston geometry is pseudo symmetric. We prove that every 4-dimensional, non symmetric, Thurston geometry is not pseudo symmetric and that the only non symmetric Kählerian 4-dimensional Thurston geometry (i.e. F 4 ) is holomorphically pseudo symmetric.