Géométrie des sous-variétés dans les espaces de formes complexes et S-variétés.
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20-02-2020
Abstract
Geometry of submanifolds in Complex space forms and S-manifolds
This work investigate the pseudo-parallel submanifolds of (2n+s)-dimensional Smanifolds
of constant φ-sectional curvature c (in short, S-space forms Ḿ). These spaces
generalize the Sasakian space forms (i.e. Sasakian manifolds of constant φ-sectional
curvature).
We are first interested in the second order parallel symmetric tensor on an S-manifold, we
establish a formula of this tensor for s≥1. Thus, we prove the non-existence of parallel
hypersurfaces of an S-space form, with c≠s. We apply these results to show the nonexistence
of semi-parallel hypersurfaces of this space. In addition, we obtain the same
negative results concerning the pseudo-parallel hypersurfaces in a Sasakian space form,
and pseudo-parallel hypersurfaces that meet certain conditions in the S-space form Ḿ(-3s)
of dimension 2n+2+s.
On the other hand, the Legendrian pseudo-parallel submanifolds are examined, the
necessary conditions of such submanifolds are given to be semi-parallel, totally geodesic or
minimal. We also studied another type of pseudo-parallel for these submanifolds, namely
Ricci generalized pseudo-parallel.
Finally, we consider an invariant, pseudo-parallel and Ricci generalized pseudo-parallel
submanifolds of an S-manifold. It is shown that these submanifolds are totally geodesic
under certain conditions.
Description
Ce travail étudie les sous-variétés pseudo-parallèles des espace de formes Sasakiennes
munis de s-champs de Reeb, c'est à dire des S-variétés de courbure φ-sectionnelle
constante c (en abrégé: S-espaces formes). Ces espaces présentent une extension de la
classe de variété Sasakienne de courbure φ-sectionnelle constante (en abrégé: espaces
formes de Sasaki).
On s'intéresse dans un premier temps au tenseur parallèle symétrique du second ordre sur
une S-variété, on établit une formule de ce tenseur. On prouve ainsi l'inexistence
d'hypersurfaces parallèles d’un S-espace forme, on applique ces résultats pour montrer
l'inexistence d'hypersurfaces semi-parallèles de celle-ci. En plus on obtient les même
résultats négatifs concernant les hypersurfaces pseudo-parallèles de l'espace forme de
Sasaki et les hypersurfaces pseudo-parallèles qui répondent à certaines conditions dans le
S-espace forme Ḿ (-3s) de dimension 2n+2+s .
D'autre part, on examine les sous-variétés Legendriennes pseudo-parallèles, on donne les
conditions nécessaires de telles sous-variétés pour être semi-parallèles, totalement
géodésiques ou minimales. On étudie également un autre type de pseudo-parallèle pour
ces sous-variétés à savoir la Ricci pseudo-parallèle généralisée.
Finalement, on considère une sous-variété invariante, pseudo-parallèle et Ricci pseudoparallèle
généralisée d'une S-variété. On montre que ces sous-variétés sont totalement
géodésiques sous certaines conditions.
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