Convergence des valeurs propres extrémales des grandes matrices aléatoires

Abstract

Les grandes matrices aléatoires font partie des outils mathématiques les plus utilisés elles sont largement présentes dans le calcul, les équations différentielles, les mathématiques discrètes, les méthodes numériques et les statistiques, et bien sûr, elles sont l’une des pierres angulaires de l’algèbre. Dans ce mémoire on s’est intéressé aux matrices de Wigner et aux matrices de covariance empiriques. L’une des principales questions qui se pose à leur sujet est celle de la convergence de la distribution spectrale et des valeurs propres extrémales qui correspondant à plus grande et à la plus petite valeur propre d’une matrice. Dans le cas des matrices de Wigner, qui sont des matrices aléatoires symétriques dont les éléments sont généralement choisis de manière indépendante et identiquement distribuée, la théorie des ensembles aléatoires prévoient que les valeurs propres sont distribuées uniformément sur un certain intervalle. Cependant, lorsque la taille de la matrice devient très grande, il a été démontré que les valeurs propres extrémales convergent vers des distributions spécifiques, telles que la distribution de Tracy-Widom. Cette convergence est un résultat profond de la théorie des matrices aléatoires. En ce qui concerne les matrices de covariance, qui sont utilisées pour analyser les relations statistiques entre les variables aléatoires, leur comportement en termes de convergence des valeurs propres dépend des propriétés du processus stochastique sous-jacent. En conclusion, les grandes matrices aléatoires, telles que les matrices de Wigner et les matrices de covariance, présentent des comportements intéressants en termes de spectre et de convergence des valeurs propres extrémales, leur étude a permis de mettre en évidence des résultats importants dans la théorie de ces matrices.