Exemples en Homogénéisation Linéaire.

Abstract

L.homogénéisation est une méthode mathématique qui se base énormément sur des connaissances en analyse fonctionnelle, théorie du contrôle, de l.optimi- sation des EDP et EDO, des semi groupes ...etc. Elle a beaucoup d.applications en industrie (Mécanique, Electronique, Médecine, Géologie, Economie... etc.). L.intérêt principal de cette méthode est la modélisation de phénomènes concrets où ces derniers se déroulent dans des milieux fortement hétérogènes, donc par la présence de microstructures. Les méthodes numériques dans le cas où on a un nombre élevé d.hétérogénéités, sont très di¢ ciles à implémenter à cause des discontinuités qui existent. Pour cela, on essaye d.obtenir une re- présentation macroscopique du phénomène. La répartition des microstructures est soit périodique ce qui est rare dans le cas réel, soit presque périodique ou aléatoire ce qui est prépondérant dans le cas général. Dans notre travail on s.intéresse au cas périodique où le paramètre " désigne la taille de la cellule où vit l.hétérogénéité. Ce paramètre est mis à l.échelle pour obtenir le cas macroscopique puis tendra vers zéro pour homogénéiser le phénomène. Notre travail est divisé en deux parties, un rappel de quelques notions en analyse fonctionnelle et en deuxième partie on présentera la méthode d.homo- généisation dans le cas périodique et on le fera dans les cas 1D puis 2D dans le cas EDP linéaire Pour plus de détails le lecteur est envoyé aux deux références principales citées vers la .n du mémoire. On fait savoir au lecteur que la seconde partie est prise de la seconde référence en traduisant en français et en explicitant les calculs pour compréhension.