Stationarit´e Stricte des Processus Autor´egressifs G´en´eralis´es.

Abstract

L’objectif principal de ce m´emoire est d’´etudier le probl`eme d’existante et d’unicit´e d’une solution de l’´equation stochastique Xn+1 = AnXn + Bn, n ∈ Z. (3.10) Notre travail est bas´e sur les articles suivants : BRANDT, A. The stochastic equation Yn+1 = AnYn + Bn with stationary coefficients, Adv. in Appl. Probab. Vol.18,No 1, 1986, pp. 211-220. BOUGEROL, P. and PICARD N. Strict stationarity of Generalized Auto regressive Processes. The Annals of Probability, Vol. 20, No 4, 1992, pp. 1714-1730. Dans la premi`ere partie, nous d´eveloppons les r´esultats de Brandt qui a ´etabli des conditions suffisantes pour l’existence et l’unicit´e d’une solution d’´equation (3.10) dans le cas o`u la suite des coefficients Ψ = (An, Bn) est stationnaire et ergodique. L’auteur montre aussi sous certains Conditions sur les moments, pour tout (Ψr = (A r n , Bn r )n)r qui converge faiblement `a Ψ, la suite de solutions (Xn(Ψr ))n de (3.10) associ´ee `a la suite des coefficients Ψr converge faiblement vers (Xn(Ψ))n. Dans la deuxi`eme partie, nous pr´esentons les r´esultats de Bougerol-Picard. Les auteurs Ont consid´er´e l’´equation (3.10) dans un cas vectoriel o`u les coefficients Ψ = (An, Bn) sont i.i.d.. Leur r´esultat principal est que, dans une condition d’irr´eductibilit´e, il existe une solution strictement stationnaire non anticipative si, et seulement si, l’exposant de le Lyapounov est strictement n´egatif.