Sur un problème à frontière libre

Abstract

Cette thèse présente des résultats d’existence, d’unicité et de régularité pour des problèmes elliptiques à second membre discontinu. De tels problèmes apparaissent naturellement dans plusieurs phénomènes de sciences appliquées comme en physique des plasmas, milieux poreux et combustion. Ces problèmes formulés dans un domaine borné sont souvent appelés problèmes à frontière libre . La première partie de cette thèse est consacrée aux propriétés des solutions d’un problème elliptique à second membre discontinu défini sur la boule unité où la solution est nulle sur le bord. Nous proposons une méthode non variationnelle. Dans la deuxième partie, nous utilisons les résultats obtenus pour étudier l’effet de la perturbation sur la frontière libre. Cette étude est basée sur les méthodes locales ce qui permet de détecter aussi un phénomène de bifurcation. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à la régularité de la frontière libre en utilisant la méthode des hodographes. Finalement la dernière partie de la thèse porte sur l’influence de la discontinuité dans les problèmes étudiés, une telle étude repose sur l’approche des inégalités variationnelles.