La théorie de semi-groupes et les équations aux dérivées partielles à retard.

Abstract

S’intéressant à l’analyse de problèmes aux limites régis par des équations différentielles à retard à coefficients opérateurs et provenant de diverses situations concrètes gouvernées par des EDP de type elliptique et parabolique, nous avons étudié en particulier le comportement précis des solutions de ces problèmes : existence et unicité de solution. L’intérêt des techniques opérationnelles est de permettre une étude unifiée de problèmes elliptiques paraboliques et de fournir pour ceux-ci des conditions nécessaires ( et suffisantes )d’existence, d’unicité (et de régularité des solutions). Les méthodes utilisées reposent sur la construction d’une formule explicite de représentation des solutions et de son analyse en fonction des données. Pour la construction de cette formule explicite et son analyse, on utilise le calcul fonctionnel (la théorie des semi-groupes). À travers les chapitres 2 et 3 nous avons exposé l’utilisation de la théorie des semi-groupes pour étudier les équations aux dérivées partielles à retard qui peuvent s’écrire sous la forme abstraite suivante : 8>>< >>: d dt u(t ) Æ f (u(t ),ut ) t È 0 u(0) Æ ´ u(x) Æ '(x) x 2 [¡r,0) (3.5) Avec r un réel strictement positif qui représente le retard, 1 É p Ç1, Y un espace de Banach, f un opérateur de Z :Æ Y £Lp(¡r, 0;Y ) à valeurs dans Y, et (´,') une condition initiale appartenant à Z. Plus précisément, nous avons donné des conditions nécessaires sur l’opérateur f pour que le problème(3.5) soit bien posé, en utilisant, la théorie des semi-groupes. Se basant sur l’hypothèse suivante : (H1) L’ensemble des valeurs initiales, pour lesquelles une unique solution forte de (3.5) existe, est un sous espace vectoriel dense de Z, de plus, la solution dépend continument de la valeur initiale, on a montré que les solutions de (3.5) définissent un semi groupe fortement continue (T (t ))tÊ0, et le générateur infinitésimal A de ce semi-groupe a été caractérisé par : D(A) Æ D( f )\W 1,p(¡r,0;Y ) A('(0),') Æ ( f ('(0),'), ˙') (3.6) 48 CONCLUSION 49 avec W 1,p(¡r,0;Y ) Æ © (´,') : ' 2W1,p(¡r, 0;Y ),´ Æ '(0) ª Ensuite, en supposant que le problème (3.5) est bien posé au sens de l’hypothèse suivante : (H2) L’opérateur A défini par(3.6) génère un C0- semi-groupe (T (t ))tÊ0 dans Z, tel que kT (t )k ÉMewt pour tout t Ê 0 avec M Ê 1 et w 2 R, le théorème de Hille-Yosida nous a permis de trouver les conséquences de l’hypothèse (H2) sur l’opérateur f. Ces conséquences ont été données par les propositions et théorèmes suivants : 1. Le théorème 2.1 2. les proposions 2.4 et 2.5, dans le cas où f est de la forme suivante : f (´,') Æ B´ÅL(´,') pour (´,') 2D( f ) (3.7) 3. la proposition 2.6 et le théorème 2.2 traitent le cas où f est de la forme (3.7) et Y est inclus dans un autre espace de Banach X, avec injection dense et continue.