INTRODUCTION AUX EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES

Abstract

Dans ce mémoire, on introduit les équations di érentielles (EDS) qui sont une généralisation de la notion d'équations di érentielles prenant en compte une perturbation aléatoire. Celle ci est exprimée à l'aide du mouvement brownien. Ce document est composé de quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré aux rappels des résultats importants en calcul stochastique concernant les processus stochastiques. On donnera les principales propriétés du mouvement brownien ainsi que celles des martingales. On abordera en n la notion d'intégrale stochastique sans laquelle il n'y aurait pas lieu à parler d'EDS. Dans le deuxième chapitre, on donnera une dé nition mathématique d'une équation di érentielle accompagnée de quelques exemples. On citera ensuite l'un des théorèmes les plus importants, à savoir le théorème d'existence et d'unicité de la solution d'une EDS. On nira ce chapitre par l'énoncé d'un grand théorème qu'on doit aux mathématiciens Yamada et Watanabe. Le troisième chapitre traite une classe particulière des EDS. Il s'agit des di usions d'Itô. On montrera que la solution de celle ci possède, entre autres, les propriétés de Markov. On dé nira ensuite un opérateur pour une di usion d'Itô qu'on appellera générateur. On terminera ce chapitre en énonçant deux théorèmes ; l'équation à retard de Kolmogorov et la formule de Feyman-Kac. Dans le dernier chapitre, on introduira la notion d'équations di érentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). Il s'agit d'étudier une évolution de laquelle on connait l'issue et pas la situation initiale. Le dernier paragraphe est consacré à l'étude d'un cas particulier des EDSR à savoir le cas linéaire.