Quelques propriétés des invariants conformes

Abstract

Cette thèse est composée de trois parties, elle est le fruit d un travail qui a duré presque une dizaine d années. La première partie étudiée est intitulée "Sur le second invariant de Paneitz-Branson", qui a fait l objet de notre première publication intitulée "On the second Paneitz -Branson invariant", là on a introduit l opérateur de Paneitz-Branson, un opérateur elliptique du quatrième, conformément invariant et qui fait intervenir une quantité dite Q-courbure analogue de la courbure scalaire de l opérateur de Yamabe, en e¤et notre motivation était une étude publier en 2005 par B. Ammann et E. Humbert sur l opérateur de Yamabe, intitulée " On the second Yamabe invariant", où ces derniers ont introduit le premier et le second invariant de Yamabe et puis ils ont étudié leurs propriétés, en particulier quand est ce qu il sont atteint, naturellement on commence par un rappel sur le problème de Yamabe, sur le second invariant de Yamabe puis on donne les motivations pour l opérateur de Paneitz-Branson, position des problèmes et présentation des résultats. La deuxième partie est intitulée, le second invariant de Yamabe singulier, là aussi poussé par la même motivation et en introduisant une singularité sur l opérateur de Yamabe, on étudie le premier et le second invariant et on nalise avec la troisième partie intitulée "Sur les solutions nodales d une équation non linéaire de type Paneitz-Branson