Applications des méthodes topologiques et variationnelle à des problèmes elliptiques de type kirchhoff.

Abstract

Les études des vibrations des corps solides ne purent se développer qu avec la mise au point de la théorie mathématique des vibrations élastiques entreprise par Robert Hooke entre 1660 et 1676. Les équations de la vibration des barres furent publiées en 1744 par Léonhardt Euler et en 1751 par Daniel Bernoulli. Les mécanismes de vibration de plaques solides élastiques furent décou- verts par E. F. Chladni, l un des plus illustres acousticiens expérimentaux. C est à lui que l on doit les célèbres gures de vibration des plaques recou- vertes de sable n mettant en évidence les positions des lignes nodales. D Alembert s intéressa aux petites vibrations et leur forme en général. Il déduit du principe fondamental de la dynamique une équation aux dérivées partielles satisfaite par le déplacement vertical de la corde. D Alembert réso- lut cette équation et montra que toute solution est la somme de deux ondes progressives, voyageant en sens inverse, à la même vitesse, sans changer de forme. Les conditions aux limites entraînent que les deux ondes sont en fait égales et périodiques de période double de la longueur de la corde. Il retrouva les modes de vibration en sinusoïde, leurs fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale. Ce sont les ondes stationnaires. Au XIXème siècle, la famille des ondes s élargit : l équation des mem- branes vibrantes ressemble à celle des cordes, mais les conditions aux limites, au bord de la membrane font que la résolution analytique n est possible que pour des membranes de formes simples. En 1850, G. Robert Kirchho¤avança une théorie mathématique décrivant les vibrations des plaques et des cordes. En particulier, Kirchho¤ donna la solution générale de l équation

qui représente une extension de l équation de D Alembert des ondes. L est la longueur de la corde, p0; h, et E sont des paramètres carac- térisant le matériau de la corde. Ce type d équation attira l attention des chercheurs après le fameux tra- vail de Lions [11] dans lequel est introduit le cadre fonctionnel pour la réso- lution de tels problèmes.