ntroduction aux matrices al´eatoires et loi de Marcenko-Pastur

Abstract

Dans ce m´emoire, nous avons commenc´e par d´ecrire les mod`eles de matrices al´eatoires aux quels nous nous int´eressons, avant de pr´esenter certains r´esultats asymptotiques concernant les propri´et´es spectrales de ces matrices. Les matrices de covariance empirique consid´er´ees sont d´efinies comme le pro- duit d’une matrice al´eatoire et sa transpos´ee ou sa matrice adjointe dans le cas complexe, avec une normalisation. De mˆeme que pour les matrices de Wigner, les propri´et´es asymptotiques des valeurs propres des matrices de covariance ont ´et´e conjectur´ees comme ´etant universelles, plus pr´ecis´ement, une distribution quelconque des valeurs propres d’une matrice al´eatoire converge presque sˆurement vers une loi d´eterministe. Cependant, dans les domaines dans lesquels les matrices de covariance sont utiles, les r´esultats asymptotiques sont souvent n´ecessaires, par exemple la loi de Marcenko-Pasture ou des r´esultats de mˆeme type avec d’autres structures des matrices al´eatoires, le comportement des valeurs propres extrˆemes . . . ect. Ce genre d’´etude repose sur des approches bien d´efinies, comme la m´ethode des moments, la m´ethode de la transform´ee de Cauchy-Stieltjes dite aussi m´ethode de la r´esolvante, ainsi que la strat´egie classique de Lindeberg.