Quelques critères d’oscillations pour les équations différentielles ordinaires de deuxième ordre.

Abstract

En math´ ematiques, une ´ equation diff ´ erentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs d ´ eriv ´ ees. L’ordre d’une ´ equation diff ´ erentielle correspond au degr ´ e maximal de d´ erivation auquel l’une des fonctions inconnues a ´ et ´ e soumise. Les ´ equations diff ´ erentielles sont utilis ´ ees pour construire des mod ` eles math ´ ematiques de ph ´ enom ` enes physiques et biologique. Les ´ equations diff ´ erentielles sont apparues historiquement tout au d ´ ebut du d ´ eveloppement de l’analyse, De nombreux travaux furent consacr´ es ` a ce sujet, diff ´ erant g ´ en ´ eralement par la motivation de l’auteur (M ´ ecanique, G ´ eom ´ etrie, Physique, ). Par exemple, pour la m ´ ecanique non lin ´ eaire, on consid ` ere qu’elle fut fond ´ ee ` a la fin du dix-neuvi ` eme si ` ecle par le math ´ ematicien franccais Henri Poincar ´ e (Sur les courbes d ´ efinies par des ´ equations diff ´ erentielles,1881-1886 ; Les m´ ethodes nouvelles de la m ´ ecanique c ´ eleste, 1892-1899). Il y a lieu de citer aussi le math´ ematicien russe Lyapunov, fondateur de la th ´ eorie de la stabilit ´ e (Le probl ` eme g ´ en ´ eral de la stabilit ´ e du mouvement, 1892). Dans les travaux techniques du vingti ` eme si ` ecle, nous allons distinguer sch ´ ematiquement trois courants : 1. Entre les deux guerres mondiales, les ing ´ enieurs se sont int ´ eress ´ es, dans plusieurs pays, au probl ` eme des oscillations. Ainsi, le chercheur russe Andronov trouva en 1929 dans les travaux de Poincar ´ e le fondement de sa Th ´ eorie des oscillations(1938). 2. Apr ` es la seconde guerre, plusieurs chercheurs sovi ´ etiques pr ´ ecis ` erent et appliqu ` erent les travaux de Lyapunov sur la stabilit ´ e, notamment Lur’e, Malkin, Ajzerman ; puis Wegrzyn en Pologne, reformula le probl ` eme de la stabilit ´ e ` a la lumi ` ere de l’analyse fonctionnelle.