Degré topologique et Applications.

Abstract

Soient y 2 RN et un ouvert borné de RN, f : ! RN une application au moins continue, et considérons l.équation f(x) = b: On se pose cette question comment peut-on de manière pratique a¢ rmer qu.il existe au moins une solution x à notre équation ? Il y a une réponse simple dans le cas où N = 1; par exemple si =]..1; 1[ et f 2 C(]..1; 1[;R); s.il existe deux nombres réels x1; x2 2] .. 1; 1[ tels que f(x1) f(x2) 0; alors notre équation admet au moins une solution, comme conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires. Alors que serait-ce pour une dimension plus grande N > 1; certains se diront dans le cas où f est linéaire et si le déterminant de f est non nul, alors il existe une solution et meme une unique solution à notre équation, et ce pour tout b 2 RN; bien entendu cela n.est valable que si le déterminant de l.application linéaire f est non nul, que faire si ce n.est pas le cas ?!!! C.est pour répondre à cette dernière question, qu.a été développé un outil intervenant pour les applications non-linéaires, où la notion de déterminant pour les applications linéaires, sera remplacée par la notion de "degré", ce dernier est un réel qui indique par sa non nullité que notre équation admet au moins une solution. Dans le cas de la dimension une.