Puissances Fractionnaires d'Opérateurs et l'Intégrale de Riemann-Liouville.

Abstract

Dans ce mémoire, l'objectif de retrouver les dé nitions données par M.Riesz de l'intégrale de Riemann-Liouville en dimension 2 et 3 dans le cas Lorentzien a été atteint dans une large mesure. Il manque cependant la démonstration que l'intégrale dans la formule de Balakrishnan converge dans un sous-intervalle de ]0; 1[. Nous comptons remédier à cela dans un travail prolongeant ce mémoire. Comme perspectives nous pouvons d'abord projeter d'étendre cette approche, à savoir la théorie des puissances fractionnaires d'opérateurs, au cas d'une dimension quelconque toujours en relation avec le cas Lorentzien et l'équation des ondes. La di culté qu'il faudra surmonter est celle de la convergence de l'intégrale dans la formule de Balakrishnan. Ensuite, on pourrait essayer d'entreprendre de faire la même chose dans le cas discret, c'est-à-dire démarrer avec une formule discrète approchant l'opérateur A et lui appliquer la théorie des puissances fractionnaires pour récupérer une approximation de A . Cela pourrait avoir des conséquences intéressantes sur la résolution numérique de problèmes liés à l'équation des ondes.