Minimisation de l’énergie de p-Ginzburg Landau

Abstract

Ce mémoire est consacré à l étude en deux dimensions des solutions station- naires u" à valeur complexe de l équation de Ginzburg-Landau impliquant un petit paramètre ". Ces problèmes sont liés aux questions survenant en physique: par exemple, les phénomènes de transition de phase dans les supraconducteurs et super uides. Le paramètre " a une dimension d une longueur qui est générale- ment de petite taille. Ainsi, il est d un grand intérêt d étudier le comportement asymptotique des minimiseurs quand " tend vers zéro.L un des principaux ré- sultats a¢ rme que la limite u des minimiseurs u" existe. En outre, u est régulière, sauf en un nombre ni de points appelés défauts ou vortices en physique. Le nombre de ces défauts est exactement le degré topologique de la donnée au bord g. Chaque singularité est de degré 1, ou physiquement on dirait, les tourbillons sont quanti ées. Les singularités ont une énergie in ni, mais après avoir enlevé l énergie de base nous sommes amenés à un concept d une énergie nie appelée:énergie renormalisée. L emplacement des singularités est complètement déterminé en minimisant l énergie renormalisée parmi toutes les con gurations possibles des défauts. Le matériel présenté dans ce mémoire suppose une connaissance modérée de l analyse fonctionnelle non linéaire, équations aux dérivées partielles, et les fonctions complexes.