Analyse mathématique d’un modèle hybride de la leucémie myéloide chronique.

Abstract

Dans ce travail, nous avons proposé un modèle mathématique hybride décri￾vant la dynamique de la leucémie myéloïde chronique, en prenant en compte la présence de cellules résistantes et les interactions complexes entre les différentes populations cellulaires. Ce modèle combine une approche structurée et des équa￾tions différentielles ordinaires, permettant de représenter de manière plus fidèle les mécanismes biologiques liés à la prolifération, à la compétition cellulaire et à l’évolution de la maladie. L’analyse mathématique développée dans ce mémoire s’est principalement concentrée sur l’étude qualitative du système, notamment à travers l’existence, l’unicité et la positivité des solutions, ainsi que l’analyse des états stationnaires et de leur stabilité locale à travers la comparaison entre le taux de reproduction net R1 des cellules souches normales et les valeurs m0 g0 et m1 g1 qui représentent respectivement le rapport entre le taux de division et le taux de mortalité des cellules souches leucémiques et celui des cellules souches leucémiques résistantes. Ces résultats ont permis de mieux comprendre le comportement asymptotique du système et d’identifier les différents régimes possibles de la maladie. L’étude des états d’équilibre a permis de mettre en évidence plusieurs com￾portements possibles du système, qui correspondent aux différentes évolutions de la maladie. Plus précisément : 1. Lorsque l’état trivial E0 est stable, toutes les populations cellulaires s’an￾nulent, ce qui correspond à une situation biologiquement dégénérée. 2. Lorsque l’état non pathologique E6 existe et est stable, les cellules normales persistent tandis que les cellules leucémiques et résistantes disparaissent, 92 ce qui correspond à un état sain sans maladie. 3. Lorsque certains états chroniques E5, E4 ou E7 existent et sont stables, les cellules normales coexistent avec les cellules leucémiques, ce qui traduit une persistance de la maladie sous une forme chronique. 4. Enfin, lorsque les états blasts E1, E2, E3 sont stables, les populations pa thologiques deviennent prédominantes, ce qui correspond à une évolution vers une phase agressive ou résistante de la maladie. Les simulations numériques réalisées ont confirmé les résultats théoriques et ont permis d’illustrer l’influence des paramètres sur la dynamique des populations cellulaires. Elles mettent en évidence des comportements variés, allant vers des états d’équilibre stables ou, dans certains cas, vers des oscillations, suggérant une dynamique plus complexe du système. Ainsi, ce travail montre que la modélisation mathématique constitue un outil pertinent pour comprendre les mécanismes de progression, de persistance et de résistance dans la leucémie myéloïde chronique. L’analyse du modèle permet d’identifier les conditions sous lesquelles la maladie peut disparaître, se stabiliser ou évoluer vers des formes plus agressives.