Etude d’un mod`ele de comp´etition entre deux esp`eces de micro-organismes avec interaction intrasp´ecifique dans un chemosta

Abstract

Dans ce m´emoire, nous allons ´etudier un mod`ele de comp´etition de deux esp`eces de micro- organismes avec interaction intrasp´ecifique sur un substrat limitant dans un chemostat. L’´etude de ce mod`ele a ´et´e r´ealis´ee par Wolkowicz et Zhiqi [10]. Il s’agit de la comp´etition entre deux esp`eces de micro-organismes pour un seul substrat limitant dans un chemostat, en tenant compte des interactions intrasp´ecifiques entre les esp`eces elles-mˆemes avec les fonctions de croissance strictement croissantes et les taux de pr´el`evement diff´erents. Notre travail est divis´e en deux chapitres suivis d’une annexe. Le premier chapitre est une introduction g´en´erale au chemostat et aux mod`eles math´ematiques. On introduit le mod`ele math´ematique `a une esp`ece (chemostat simple) puis celui `a deux esp`eces (chemostat avec comp´etition) par des ´equations diff´erentielles de processus d’´evolutions physiques et biologiques. La fonction de croissance des micro-organismes est de type g´en´eral, de classe C1, strictement croissante et s’annule en 0. Dans le mod`ele de comp´etition, nous allons ´enoncer un th´eor`eme tr`es connu en th´eorie math´ematique de chemostat appel´e principe d’exclusion comp´etitive : l’esp`ece qui a le plus petit seuil de rentabilit´e l’emporte sur l’autre. Ce principe est corrobor´e exp´erimentalement mais contredit par l’environnement naturel o`u plusieurs esp`eces peuvent coexister `a long terme. L’approche th´eorique de cette dynamique de comp´etition dans le chemostat a ´et´e d´evelopp´ee dans le livre de Smith et Waltman [6]. Dans le deuxi`eme chapitre, on pr´esente le mod`ele de comp´etition entre deux esp`eces de micro-organismes avec interaction intrasp´ecifique dans le chemostat. On analyse globalement le mod`ele avec la fonction de croissance g´en´erale v´erifiant les mˆemes hypoth`eses du premier chapitre. Enfin, on illustre tous les r´esultats par des simulations num´eriques sous Matlab. Les outils math´ematiques indispensables dans les preuves se trouvent dans l’annexe