Caract´erisation variationnelle des valeurs propres du Laplacien fractionnaire et applications.

Abstract

Dans ce m´emoire, on donne une caract´erisation variationnelle des valeurs propres et des vecteurs propres du probl`eme suivant :

(−Δ)su = λu dans Ω u = 0 dans Rd \ Ω, o`u s ∈]0, 1[ et Ω est un sous-ensemble ouvert, born´e de Rd avec fronti`ere Lipschitzienne. On discute de certaines de leurs propri´et´es telles que la positivit´e de la premi`ere fonction propre, la multiplicit´e des valeurs propres et la L2-orthonormalit´e des fonctions propres. On calcule le Laplacien fractionnaire −(−Δ)s pour les fonctions de la forme u(x) = (1 − |x|2)p + et v(x) = xdu(x). Comme application, on estime les premi`eres valeurs propres du Laplacien fractionnaire dans une boule de Rd.