Analyse de quelques modèles épidémiologiques pour prédire la date du pic et la taille finale des épidémies

Abstract

Cette th`ese vise `a examiner quelques mod`eles ´epid´emiologiques afin de pr´edire la date du pic ´epid´emique et estimer la taille finale de l’´epid´emie. Elle se compose de deux parties distinctes. La premi`ere partie se concentre sur l’analyse de deux mod`eles ´epid´emiologiques de type SEIR. Le premier est formul´e sous la forme d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires, tandis que le second est structur´e en fonction de l’ˆage d’infection. Nous confirmons la conjecture selon laquelle le pic se produit `a environ T ∼ (ln N)/λ, o`u N est la taille de la population et λ est la plus grande valeur propre du syst`eme lin´earis´e issu du premier mod`ele et la seule racine positive de l’´equation caract´eristique pour le deuxi`eme mod`ele. Des simulations num´eriques illustrent les r´esultats obtenus, mettant en ´evidence une coh´erence satisfaisante. Dans la seconde partie, nous examinons un mod`ele ´epid´emique `a retard qui mod´elise l’interaction de deux souches virales, avec et sans immunit´e crois´ee. L’analyse math´ematique montre que la coexistence des deux souches dans la population est possible lorsque les taux de transmission de la maladie sont proches. En revanche, si la diff´erence entre ces taux est significative, l’une des souches prend le dessus et ´elimine l’autre.