Sur le signe de la vitesse d’une onde progressive solution de certaines équations de réaction-diffusion et intégro-différences.

Abstract

L’invasion biologique est un phénomène très courant et compliqué. La modélisation mathématique sert à prévoir ses tendances générales. Les équations de réaction-diffusion modélisent la croissance et la dispersion d’une certaine population où les générations se chevauchent, sinon, on utilise les équations intégro-différences. On s’intéresse aux solutions qui sont des ondes progressives, elles ont une particularité d’avoir une vitesse permettant de prévoir la réussite d’invasion ou non. Cette quantité dépend fortement de la fonction de croissance ; si cette fonction subit un effet Allee, alors la vitesse minimale d’invasion, sous laquelle il n’existe plus d’ondes progressive, change selon la qualité de l’effet Allee : fort ou faible. En dehors de ce phénomène, la vitesse minimale est une constante connue. Un outil important pour savoir la façon de dispersion d’une population, est de chercher le signe de la vitesse d’invasion, sans savoir sa valeur, et encore une fois , il est donné par le signe de l’intégrale de la fonction taux de croissance sur le domaine considéré. S’il est positif alors la population va remplir le milieu au cours du temps, s’il est négatif alors la population fait un retrait. Si la vitesse est nulle alors la population est dans un état stationnaire.