Application de la methode de galerkin a un probleme elliptique avec terme non local singulier.

Abstract

Les découvertes des savants de l époque moderne sont à l origine de nos connaissances en acoustique. Ainsi, Brook Taylor a établi les équations des courbes de vibration des cordes. Ses recherches furent complétées par celles de Jean d Alembert, ce de- nier s intéressa aux petites vibrations et leur forme en général. Il déduit du principe fondamental de la dynamique une équation aux dérivées partielles satisfaite par le déplacement vertical de la corde. De nos jours, elle est connue sous le nom d équation des ondes. Elle se trouve partout autour de nous, car nous sommes entourés d ondes: sonores dans l air, électriques dans les ls, électromagnétiques (radio, micro-onde, lu- mière visible), sismiques dans le sol. Cette équation, D Alembert la résolut. Il montra que toute solution est la somme de deux ondes progressives, de son côté Daniel Bernoulli montra également qu une corde en vibration produit simultanément une multitude d oscillations élémentaires dont la somme donne le son résultant, c est le principe de superposition (la sommes de deux solutions de l équation des ondes est encore une solution). Les travaux du mathématicien Joseph Fourier apportèrent à l acoustique un théorème fondamental sur lequel sont encore construits la plupart des outils d analyse du son. Louis de Lagrange résolut de façon complète et analytique l équation de la vi- bration d une corde. Cette équation, assimilant la corde à un ensemble de particules identiques et réduisant la vibration à une somme de vibrations élémentaires, a permis le calcul des fréquences harmoniques émises par une corde tendu. Les études des vibrations des corps solides ne purent se développer qu avec la mise au point de la théorie mathématique des vibrations élastiques entreprise par Robert Hooke entre 1660 et 1676. Les mécanismes de vibrations de plaques solides élastiques furent découverts par E.F.F. Chladni, l un des plus illustres acousticiens expérimentaux. En 1850, G. Robert Kirchho¤ avança une théorie mathématique décrivant les vibrations de ces plaques.

Au courant de XIXe siècle, la famille des ondes s élargit: l équation des mem- branes vibrantes ressemble à celle des cordes, mais la condition aux limites, au bord de la membrane, fait que la résolution analytique n est possible que pour des mem- branes de forme simples: rectangle (Poisson), cercle (Clebsch), triangle (Lamé), ellipse (Mathieu). Maxwell établit les équations de l électromagnétisme et montra qu elles ont comme conséquence l équation des ondes 3-dimensionnelles. Kirchho¤ en donne la so- lution générale, qui s apparente à celle de D Alembert. Dans ce travail on s intéresse à la méthode de Galerkin, c est une méthode qui consiste les formulations faibles, et on va l appliquer aux équations elliptiques de type Kirchho¤ pour étudier l existence et la non existence de ce type d équation. Ce mémoire, basé essentiellement sur l article [6], est divisé en 3 chapitres organisés de la manière suivante: Le chapitre 1 est consacré à rappeler quelques notions sur les espaces de Sobolev, la méthode variationnelle en donnant des théorèmes qu on va les appliquer après, à la n on décrit le principe de la méthode de Galerkin et on résout un problème modèle par cette méthode. Dans le chapitre 2 on va étudier l existence et la non existence du problème de type Kirchho¤. Et en n le chapitre 3 est consacré à l application de la méthode de Galerkin à un problème de Kirchho¤ contenant un terme non local singulier.