Sur un problème à frontière libre.

Abstract

Cette thèse présente des résultats d'existence, d'unicité et de régularité pour des problèmes elliptiques à second membre discontinu. De tels problèmes apparaissent naturellement dans plusieurs phénomènes de sciences appliquées comme en physique des plasmas, milieux poreux et combustion. Ces problèmes formulés dans un domaine borné sont souvent appelés problèmes à frontière libre. La première partie de cette thèse est consacrée aux propriétés des solutions d'un problème elliptique à second membre discontinu défini sur la boule unité où la solution est nulle sur le bord. Nous proposons une méthode non variationnelle. Dans la deuxième partie, nous utilisons les résultats obtenus pour étudier l'effet de la perturbation sur la frontière libre. Cette étude est basée sur les méthodes locales ce qui permet de détecter aussi un phénomène de bifurcation. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à la régularité de la frontière libre en utilisant la méthode des hodographes. Finalement la dernière partie de la thèse porte sur l'influence de la discontinuité dans les problèmes étudiés, une telle étude repose sur l'approche des inégalités variationnelles.Abstract : This thesis presents the existence, uniqueness and regularity results for elliptic problems with discontinuous nonlinearities. Such problems arise naturally in many phenomena of applied sciences such as plasmas physics, combustion and porous mediums. These problems formulated in a bounded domain are often called free-boundary problems. The first part of this thesis is devoted to properties of solutions of an elliptic problem with discontinuous nonlinearity defined on the unit ball where the solution is zero on the boundary. We propose a non-variational technic . In the second part, we use the above results to study the effect of perturbation on the free boundary. This study is based on local methods which permit to detect a phenomenon of bifurcation. In the third part, we are interested in regularity of the free boundary using the hodographs method. Finally the last part of this thesis deals with the effect of the discontinuity on the studied problems. This study is based on the approach of variational inequalities.