Problèmes elliptiques d’ordre supérieur sur les variétés riemanniennes

Abstract

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes de Dirichlet issus de la géométrie conforme. Dans un premier temps, on s’intéresse a l’existence de solutions nodales d’un problème elliptique d’ordre quatre de type ` Paneitz-Branson sur une variété Riemannienne compacte a bord de dimension ` n > 5. Pour le second problème, nous étudions sur une vari ´ et´ e Riemannienne compacte à bord de dimension n > 2k ou` k ∈ N? ; l’existence de solutions nodales d’un problème contenant l’operateur pohyarmonique de type ´ GJMS. Les deux problèmes ont la particularité de contenir l’exposant critique de Sobolev; ce qui nous conduit a utiliser l’approche variationnelle développée par H. Yamab. The aim of this thesis is to study two problems arising from conformal geometry. Firstly, we are interested in the existence of nodal solutions for fourth order elliptic equations involving the Paneitz-Branson type operator on a compact Riemannian manifold with boundary of dimension n > 5. For the second one, we are interested in the existence of nodal solutions for elliptic equations involving the GJMS type operator on a compact Riemannian manifold with boundary of dimension n > 2k where k ∈ N? The two problems have the peculiarity of containing the critical Sobolev exponent, which leads us to use the variational approach developed by H. Yamabe.