Equations différentielles ordinaires et applications.

Abstract

Lors de l’étude des phénomènes dans la nature, les solutions de plusieurs problèmes de la Physique, de la Chimie et de la Biologie ou d’autres sciences, sont rarement exprimables sous forme d’une relation directe entre les grandeurs décrivant l’un ou l’autre processus évolutif. Cependant, dans la plupart des cas, on peut parvenir à établir une relation entre les grandeurs (fonctions) et les vitesses de leur changement c’est-à-dire on peut parvenir à trouver des équations dans lesquelles des fonctions inconnues entrent sous le signe de dérivée. Ces équations sont dites équations diffé rentielles. Depuis Isaac Newton , les équations différentielles jouent un rô le essentiel pour la modélisation de systèmes physiques, mé caniques, chimiques, biologiques ou économiques et une part prépond érante des phénomènes modélisés par les mathématiques le sont par des équations différentielles. Lorsque ces équations ne font intervenir que des fonctions d’une variable, et souvent cette variable sera le temps, on parle d’équations différentielles ordinaires. De telles équations apparaissent chaque fois que l’on veut décrire l’évolution déterministe d’un système au cours du temps : systèmes de points matériels, réactions chimiques, problèmes d’évolution de population, de diffusion d’épidémies, bref chaque fois que l’on étudie la dépendence d’un système par rapport à une variable. Ce mémoire présente une introduction à la théories classique des equations différen- 5 6 Chapitre 1. Introduction tielles ordinaires, pour des fondements de cette théorie on peut consulter les ouvrages et [2] et [1], un exposé moderne est présenté dans [3]. Le chapitre 2 est consacré à l’étude des problèmes d’existence, d’unicité de solution du problème de Cauchy et sa dépendance de la condition initiale. Dans le chapitre 3, on étudie les équations différentielles linéaires à coefficients constants, on verra que les solutions s’expriment à l’aide de l’exponentielle de matrice. Dans le chapitre 4 on présente quelques applications.