Prédation dans un chemostat.

Abstract

Dans ce travail nous allons développer un des nombreux aspects du travail de P. Waltman et. al sur la théorie du chemostat, en l’occurrence, le cas de la prédation dans un chemostat. Cet aspect est moins connu que celui, classique, de la compétition dans le dispositif du chemostat. Nous nous contenterons de considérer le modèle tridimensionnel substrat-proie-prédateur. L’étude de la dynamique du modèle considéré passe par la réduction de la dimension à l’aide de la théorie de H. R. Thieme, ce qui rend possible, dans notre cas, l’utilisation des propriétés bien connues des portraits de phase dans le plan. Le premier chapitre est une brève introduction au dispositif et aux équations du chemostat et au cas habituel de la compétion, en mettant en évidence le principe dit d’exclusion compétitive. C’est dans le deuxième chapitre que le modèle avec prédation est présenté. On commence par une étude qualitative et la détermination des points d’équilibre ainsi que leur stabilité éventuelle locale. On verra qu’il peut exister un unique équilibre intérieur localement asymptotiquement stable, ou instable. Dans le dernier chapitre, nous montrons que lorsque l’équilibre intérieur est stable, il l’est globalement pour toutes les solutions strictement positives. Nous montrons aussi que dans le cas où il est instable, il existe au moins un cycle limite stable. Nous illustrons, à la fin, les résultats par quelques simulations numériques.