Analyse de bifurcation de Hopf pour un modèle épidémiologique SEIR à retard

Abstract

Le comportement de nombreux phénomènes est souvent supposé être décrit mathématiquement par les solutions d’une équation différentielle ordinaire. Cette hypothèse implique implicitement que le comportement futur est uniquement déterminé par le présent et indépendant du passé. Cependant, il est parfois nécessaire de prendre en considération l’histoire du phénomène. Dans ce cas, il est préférable d’utiliser les équations différentielles à retard où le passé exerce son influence de manière significative sur l’avenir. Ce travail vise à étudier relativement en détail ce type d’équations appelées les équations diffé- rentielles à retard ainsi que les outils liés au traitement mathématique tels que l’existence, l’unicité, la stabilité et l’étude de diverses équations caractéristiques. Comme un exemple d’application, un modèle épidémiologique SEIR à retard avec une incidence de saturation décrivant la période latente de la maladie est étudié (voir l’article [25]). De plus, dans ce modèle, il est supposé que la population susceptible a une croissance logistique en absence de la maladie. Ce modèle est donné par, pour tout t > 0,    S ′ (t) = rS(t) 1 − S K (t)

− βS 1 + (t αI )I ( ( t t ) ) , E(t) = β Z t− t τ 1 + S(u αI )I( ( u u ) ) e −µ(t−u) du, I ′ (t) = βe−µτS(t − τ )I(t − τ ) 1 + αI(t − τ ) − (µ + γ)I(t), R′ (t) = γI(t) − µR(t),