Geometry of Nearly Sasakian Manifolds and their Submanifolds.

Abstract

Cette these est divise en deux parties dierentes. La premiere est consacree pour l'etude des surfaces de la sphere de dimension cinq, qui a la structure nearly Sasakienne, et aussi la structure nearly cosymplectique. La seconde partie donne la classication des hypersurfaces anes de dimension quatre, localement fortement convexes, dans le cas ou l'operateur de forme a deux valeurs propres distinctes, en considerant qu'ils ont la m^eme multiplicite 2. Partie I : Nous etudions les surfaces dans la sphere S5 nearly Sasakienne dans le champ vectoriel de la structure est normal a la surface et anti-invariant qui respecte la structure nearly sasakienne. Ainsi nous allons demontres le theoreme suivant : Theoreme : La surface totalement reelle de la sphere nearly Sasakienne de dimen- sion 5 est toujours minimale. Nous allons montres egalement que ce resultat est valable pour les surfaces dans la sphere nearly co-symplectique de dimension 5. Comme consequence de cette minimalite, on peut avoir aussi une correspondance local entre les surfaces de la sphere S5 avec la structure nearly Sasakienne, oubien la structure nearly cosymplectique, et les surfaces Lagrangiennes minimales de l'espace projective complexe CP2. Part II : Nous etudions les hypersurfaces ane de dimension quatre localement fortement convexe, ou l'operateur de forme a deux valeurs propres distinctes. Dans le cas ou une des valeurs propre a la dimension 1 ces hypersurfaces ont etes etudies aupara- vant par Dillem, Vrancken, Hu, Li and Zhang, ou ils ont classies les hypersurfaces de dimension 4 et 5 avec l'hypothese supplementaire que la multiplicite de l'une des valeurs propres est 1. Nous completons la classication de la dimension 4 en considerant le cas ou la multiplication des deux valeurs propres est egal a 2, voici son theoreme : Theoreme : Soit l'hypersurface ane, localement fortement convexe, M4 de R5. Nous supposons que M a deux distinctes valeurs propre, de m^eme multiplicite 2. Alors M est equivalente a la partie convexe d'une des hypersurfaces suivantes :x1x243x2x253x23= 1;x32x1 (x23+ x24)x25x25= 1;2x2x3x4 x24x1x232x5 2x22x5 = 1;ou (x1; x2; x3; x4; x5) sont les coordonnees de R5.